您好, 访客   登录/注册

浅议微分中值定理及应用

来源:用户上传      作者:

  摘要:微分中值定理是高等数学中很重要的部分,许多书把其作为单独一章讲解,微分中值定理通常包括费尔马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理、达布定理等。本文就微分中值定理的概念和应用做了简单的介绍。
  关键词:费马定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理
  
  以罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础,它们建立了函数值与导数值之间的定量联系,中值定理的主要作用在于理论分析和证明;应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态,从而能把握住函数图象的各种几何特征.此外,极值问题有重要的实际应用.在用微分中值定理去证明一些问题时,我们通常采用的方法是直接套用这些定理或是经过简单地恒等变换以后而实现。微分中值定理主要应用在那几个方面,本文进行了简单讲解。
  一、微分中值定理的含义
  实际上,自从极限的概念被确立后,微积分的概念才有了比较合理的基础,这为函数的分析提供了有力的工具。有了极限的概念,就可以刻划函数的发展趋势。实际上刻划像相对原像变化率的一个很有用的工具就是一个特殊的极限---导数。有了导数,当然可以继续研究高阶导数。在有了导数以后,为了沟通函数与其各阶导数的性质,就有了中值定理。学习这些中值定理,将会给我们重要的启示(依照逻辑顺序排列) 。
  1.费马定理Fermat 1601-1665。
  2.罗尔定理Rolle 1652-1719(标准教科书证明利用了费马定理)。
  3.拉格朗日 1736-1813(证明利用了罗尔定理)。
  4.柯西定理 1789-1857(证明利用了拉格朗日定理)。
  5.罗比达定理 1661-1704 (证明利用了柯西定理)。
  6.泰勒公式 1685-1731(证明利用了柯西定理)。
  拉格朗日中值定理和柯西中值定理的过程是基于罗尔定理上的,并将拉格朗日中值定理作为罗尔定理的推广,找出辅助函数满足罗尔定理的条件得证的;柯西中值定理作为拉格朗日中值定理的推广,再应用参数方程所确定的函数的导数,找出辅助函数满足罗尔定理的条件得证的。
  (1)罗尔(Rolle)定理
  如果函数f(x)满足条件:1.在闭区间[a,b]上连续;2.在开区间(a,b)内可导;3.f(a)=f(b)。那么在(a,b)内至少有一点ξ使得f′(ξ)=0。几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧是一条连续的曲线弧,除端点外处处有不垂直于轴的切线,且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明,弧上至少有一点,曲线在该点切线是水平的。
  (2)拉格朗日(Lagrange)定理
  如果函数f(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导。那么在(a,b)内至少有一点ξ使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。
  拉格朗日中值定理是高等数学中重要定理之一,它的证明通常以罗尔中值定理作为预备定理,关键在于构造一个辅助函数,而辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件,证明的过程就是对辅助函数应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论。证明拉格朗日中值定理的一般方法(也是教科书上的证明方法)是通过曲线弧与弦的坐标差构造辅助函数:F(x)=f(x)-f(a)+(x-a)由F(x)满足罗尔定理的条件,利用罗尔定理得出结论。
  我们介绍了罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理,由于三个定理中的ξ都是(a,b)内的某一个值,所以这三个定理统称为微分中值定理,其中拉格朗日定理应用最广泛。三个中值定理的应用,涉及到的题型大致有四种:一是研究函数或导数所对应的方程的根的个数及根的范围;二是根据函数的性质研究导函数的性质,或者是根据导函数的性质研究函数的性质;三是证明一些不等式;四是求极限。
  在解决以上问题时,怎样运用定理,选择什么函数,在什么区间上应用是解题的关键,其次掌握它们的特点是十分必要的,最后构造辅助函数是关键也是难点,下面通过典型例题来说明微分中值定理在解决一些难题、特殊题中的应用。
  二、微分中值定理的应用

转载注明来源:https://www.xzbu.com/9/view-11950242.htm