重积分的几何意义及应用
作者 : 未知

  【摘要】重积分是定义在空间区域上的积分,是定积分的推广及发展.其中二重积分与三重积分应用最广,它们的几何意义也对今后的问题研究有重大作用.
  【关键词】二重积分;三重积分;几何意义
  在微积分中有两大重要计算――微分和积分两种运算,是数学学科中非常经典的互逆运算.在一元函数积分的学习过程中可以了解到,定积分是某种确定形式的和的极限,把这种和式的极限的思想推广到定义在区域上多元函数的情况,就得到重积分.
  二重积分表示一种类型和式的极限Df(x,y)dσ=limλ→0∑ni=1f(ζi,ηi)Δσi,三重积分表示ωf(x,y,z)dV=limλ→0∑ni=1f(ζi,ηi,ξi)Δvi,其值均取决于被积函数的对应规则和积分区域,而与积分变量的记号无关.连续是可积的充分条件.
  二者的不同点是:二重积分的被积函数是定义在平面区域D上的二元函数,而三重积分的被积函数是定义在空间区域ω上的三元函数.
  一、重积分的概念
  设D为Rn中可求得体积的有界闭区域.f(X)是在D上有定义的函数.将D分割成互相没有公共内点的任意N个可求得体积的闭子域D1,D2,…,DN,记此分划为Δ,以‖Δ‖表示诸Di的直径中最大者,称之为此分划的模数.任取点Xi∈Di,i=1,…,N,作和数∑Ni=1f(Xi)V(Di).如果当‖Δ‖→0时,上述和数的极限存在,我们就说函数f(X)于闭区域D上可积,且称该极限值为f(X)在D上的(n重)积分,记为∫Df(X)dV或∫Df(X)dX或∫D…∫f(x1,…,xn)dx1…dxn,其中f(X)称为被积函数,D为积分区域.
  通常的二重积分和三重积分分别表示为Df(X)dV和Df(X)dV.
  二、重积分的几何意义
  (一)二重积分的几何意义
  设f(x,y)是二重积分的被积函数,则
  (1)当f(x,y)≥0时,Df(x,y)dσ表示以曲面z=f(x,y)为曲顶,以D为底的柱体体积,或者表示为以μ=f(x,y)为平面密度的薄片D的质量.
  (2)当f(x,y)0时,wf(x,y,z)dV表示体密度μ=f(x,y,z)的空间立体ω的质量.
  (2)当f(x,y,z)