利用SOLO分类评价法突破初中几何推理教学难点的案例研究

来源:用户上传      作者:

　　 摘 要：从教学中的一个调查、一个例题出发，发现几何教学中的一些问题，分析初中几何推理的难点，借SOLO分类评价法突破初中几何推理难点的个案研究，找出解决几何推理难点的一般策略：利用思维导图整理知识网络和理顺解题的一般步骤;利用间接条件法让学生由易到难动手实践;培养寻找解题思路的三种方法;基本解题思路的整理;作业的分层批改;同伴互助学习。
　　 关键词：SOLO分类评价法;几何;个案
　　 一、问题的引出
　　 1.一个调查
　　 笔者对自己所在学校七、八年級期中数学试卷进行了分析，七年级几何题总分为34分，占总分120分的28.3%，八年级几何题总分为30分，占总分120分的25%。P为几何总分/总分，M为调查总人数中几何得分在所得总分中占比超过P值的人数，N为M/调查总人数。
　　 这个调查结果清楚地表明，学生的几何部分能力水平相较于代数部分明显处于劣势，并对学生数学的学业成绩产生了重要的影响，亟须我们分析原因，采取对策。
　　 2.一个例题
　　 已知，如图1，AF是△ABC一边上的中线，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE和AF互相平分。
　　 学生常见错误：
　　 1.∵AF为中线∴ DE和AF互相平分（因为所以之间没有任何逻辑联系）。
　　 2.直接证△ADG≌△AEG（错误一：问题被理解成AF平分DE，所以想通过全等证明，错误二：本身这两个三角形不具备全等的条件）。
　　 3.只会证DE平行且等于1/2BC（认为已知与求证之间没有必然的联系）。
　　 引出的问题：
　　 探究学生几何解题中存在的问题，分析问题产生的原因，检视思维发展的过程，从而帮助他们提高解决几何问题的能力和学业成绩，这显得更加重要与急迫。
　　 二、初中几何教学的现状和存在的困难
　　 几何推理的逻辑性和思维表达的缜密性经常让学生感觉几何抽象难懂，对解题过程的要求有点吹毛求疵。在解题时，学生的思路难以打开或是知道内在的逻辑却无法用逻辑化的语言层层递进地表达出来。不少学生的几何证明长期停留在模仿的水平，遇到思维有一定的跳跃性的，特别是需要做辅助线的题型就无从下手。他们不善于读图，对题目提供的图形常常无法充分利用。在几何教学实践中，许多教师也都感到几何难教，学生觉得难学，尤其是几何证明题。考虑到不同的学生对几何证明题的理解和解决是不同层次的，要在同一课堂中让所有学生齐步前行有相当的困难。如何帮助学生顺利地从直观形象思维过渡到抽象逻辑思维是在初中几何教学中一个严峻的挑战。
　　 三、研究的理论依据和理论依据在几何教学中的意义
　　 SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome）分类评价法是一种以等级描述为基本特征的质性评价方法，由澳大利亚学者约翰·比格斯（Biggs）教授在《评价学习的质量———SOLO分类法》（1982）一书中提出，理论的基础是皮亚杰的认知发展阶段论。比格斯认为人的认知是阶段性的。学生在学习具体知识的过程中，都会经历一个从量变到质变的过程。每发生一次跃变，学生在对于这种知识的认知就进入更高一级的阶段，因此可以根据学生在答题时具体反馈来判断学生对当前问题的理解所处的思维发展阶段，从而给予科学的评价。比格斯把学生对某个问题的学习结果由低到高划分为5个层次：前结构（学生基本上无法理解问题和解决问题，只提供了一些逻辑混乱、没有论据支撑的答案）、单一结构（学生找到了一个解决问题的思路，但却就此收敛，单凭一点论据就跳到答案上去）、多元结构（学生找到了多个解决问题的思路，但却未能把这些思路有机地整合起来）、关联结构（学生能够使用多个可获得的线索或资料，并将它们融会贯通成为一个有机的整体，并能解决较为复杂的问题）、拓展抽象结构（学生能够对问题进行抽象的概括，从理论的高度来分析问题，而且能够深化问题，使问题本身的意义得到拓展）。
　　 1.SOLO分类评价法能有效地评价学生的几何学习质量
　　 分析学生的SOLO水平（思维反应层次）对老师了解学生的认知水平，找到学生在理解上的瓶颈，增强教学的针对性，提高教学质量有积极作用。SOLO水平高的学生有非常好的理解问题、分析问题、解决问题的能力，能发散性地思考，并能把相关联的信息建立起联系，从而进一步抽象出可迁移的理论，因此，也总能有较好的几何学业成绩。反之，则必然成绩不佳。所以，SOLO水平能科学地评价学生几何学习质量。
　　 2.SOLO分类评价法能发现学生对几何知识理解上的误区
　　 找到学生在几何问题理解上的误区对教师提高教学的有针对性、改善教学质量有立竿见影的效果。SOLO分类评价法在对学生的反应水平进行分层的同时也对错误的理解类型进行了分类，不同结构水平的回答能显示出学生在理解上的缺陷。例如，处于前结构水平和单元结构水平的学生在知识点的理解上存在困难;处于多元结构水平的学生难以找到量与量之间的相互关系;而处于关联水平的学生思维不够发散。笔者准备借助SOLO分类评价理论对学生在解题时出现的各种错误情况进行分类整理，使学生和教师都清楚地分清学生的错误在何处，便于接下来师生针对存在问题采取有效的手段改进，进一步研究各种错误的情况明确采取什么样的策略比较有效，以提高几何教学的质量。
　　 3.SOLO分类评价法能探究引发学生产生误解的原因
　　 通过开展SOLO测试并结合访谈，可以帮助教师了解学生回答问题时的不同思维方式，探求引发学生产生错误理解的原因。例如在一次次小测验中，部分学生在做题时遇到图2，会错误地以为∠1和∠4是内错角。通过和学生的谈话，我们发现学生之所以有这样的误解可能是数学教师在概念教学中片面强调只要看到Z形的图形就可以找出内错角，因此当学生在右图中看到直线AB与直线EF之间似乎也构成了一个Z形，就得出错误的结论。经过这样的测试，可以发现学生在理解三线八角时存在问题，数学老师在了解到这个情况后，及时调整教学方法，对存在误解的同学进行课后辅导，纠正错误理解，从而提高了教学质量。 　　 4.SOLO分类评价法能够有效地测量学生的思维水平
　　 SOLO分类评价法能较准确地测量出学生的思维水平。例如我们在教学中有时会发现这样的学生，他们的考试成绩仅处于中下游，但SOLO分类评价测试的结果却显示他们的思维反应处于抽象拓展水平。深入调查会发现，这样的学生思维往往比较灵活，只是近一段时间学习态度欠佳，没有认真做作业，考试成绩比较差只是这段时间的学习状况的体现，不能真正反映学生的学习能力和思维水平。因此，老师应从分析学生学习态度不理想的原因入手，与学生、家长进行沟通，排除影响学习态度负面因素，提高学生学习的积极性和兴趣，从而提高学习效率。根据SOLO的基本设想，教学评价应该更多地关注学生在回答问题时表现出来的思维结构。因此，在考评学生的逻辑思维能力时，也应关注学生使用的几何语言体现出来的思维结构水平。
　　 四、SOLO分类评价法在初中几何推理中的个案研究
　　 1.研究对象
　　 （1）研究对象的确定
　　 受到条件的限制和研究的需要，笔者以自己教学班的学生为研究对象。在研究期间，笔者所教学的班级刚好从八年级升到九年级，所以对同一个学生有八年级时的研究和九年级时的研究，研究的人数为6人，人员确定是笔者根据学生有记载的数学成绩进行分层，共分三层（A、B、C），每个层次的学生随机抽取2人。
　　 （2）研究对象的编码
　　 用一个六位数的编码表示一个学生的具体信息，6位学生八年级时可以分别记为801A01、801A02、801B01、801B02、801C01、801C02，例如801A01表示八年级01班A层次第一个研究对象。同样这6个学生九年级时可以分别记为901A01、901A02、901B01、901A01801B02、901C01、901C02，例如901A01表示九年级01班A层次第一个研究对象，801A01和901A01表示同一个人。
　　 2.试题的编制
　　 （1）根据学生的情况每个层次在八九年级编制了难度不同的试题各2题。即八年级A层次2题，八年级B层次2题，八年级C层次2题，九年级A层次2题，九年级B层次2题，九年级C层次2题，试题详见附件1。
　　 （2）试题编制的内容，八年级几何研究的重点是特殊的四边形，因此选择八下特殊四边形中的内容，九年级上几何研究的重点是圆和相似，因此选择的内容为圆和相似的综合题。
　　 （3）根据试题的编制和学生分层中可能存在的不合理因素，在试题的检测中遵循A层次的学生先做A层次的题，有做不出就做B层次的题;B层次的学生先做B层次的题，能做再试試A层次的题，不能做就做C层次的题;C层次的学生先做C层次的题，能做可以继续做B层次的题，若不能做则只要求画出已知、求证和备用条件并写出来。
　　 3.SOLO分类评价法在初中几何题中的使用策略
　　 （1）介绍策略的使用步骤：
　　 仔细审题（理清已知条件、隐含条件及问题）——理解题意（利用定理、定义、概念等从已知条件、隐含条件中推出相应的结论，作为备用条件）——确定思路（结合问题组织已知条件、隐含条件及备用条件，选择跟问题有关的有用信息）——实践反思（根据解题思路写出证明过程，反思整个推理过程，若不严密或不准确再重新审题，重复前面的步骤）。
　　 （2）举例说明
　　 如图3，AE是⊙O的直径，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D。求证：∠1=∠2
　　 步骤一：划出已知条件和问题。
　　 步骤二：从已知条件推出备用条件。①→直径所对圆周角是直角（连接BE或EC）→∠1与∠AEB互余或∠EAC与∠AEC互余;③→∠2与∠C互余。
　　 步骤三：结合问题确定思路，要证∠1=∠2只要证∠AEB=∠ACB，而这两角都是弧AB所对的圆周角，问题解决。对比连接BE和EC，显然连接BE更恰当。
　　 步骤四：根据思路写出完整的过程。
　　 ∵AE是⊙O的直径  ∴∠ABE=90°  ∴∠1+∠AEB=90° ∵AD⊥BC  ∴ ∠2+∠C=90°
　　 ∵∠AEB和∠ACB是弧AB所对的圆周角 ∴∠AEB=∠ACB ∴∠1=∠2
　　 反思一：已知圆中有直径这一条件基本的辅助线就是作直径所对的圆周角。
　　 反思二：充分利用圆周角与所对弧的关系，证明两角相等。
　　 4.个案研究达到的预期目标
　　 （1）教师借鉴SOLO分类评价法对学生在几何推理能力过程出现的情况进行分类，思维水平分类如下：
　　 1级水平：找出题中的已知条件、隐含条件及问题（已知和隐含条件可以分别记为D1、D2、D3……）
　　 2级水平：利用定理、定义、概念等从已知推出相应的结论C1、C2、C3……
　　 3级水平：能在2级水平上进一步组合推出新的结论。B1、B2、B3……
　　 4级水平：在3级水平上，若条件之间缺少必要的联系，需要通过辅助线的帮助才能解决的。A1、A2、A3……
　　 教师借鉴SOLO分类评价法诊断学生的思维水平和存在的问题，直观地知道学生属于什么思维水平，并探究低一级水平向上一级水平过渡主要的问题是什么。例如一位学生能画出条件完成步骤一，但对于例题中①的条件不知怎么用，从而诊断出他的具体问题是什么（这里可以知道学生的问题是对圆周角的推论直径所对的圆周角等于90°不会用，学生也知晓是直径这个条件不会用），同时教师也清楚了这个问题如何解决（如采用圆周角推论的强化策略，已知条件中有直径一般作直径所对的圆周角，有90°的圆周角连接圆周角所对的弦，此弦是直径;也可增加有针对性的练习，巩固应用）。 　　 （2）个体反思和同伴互助
　　 学生自己、同伴之间根据SOLO分类评价法能判断学生自己或同伴的思维水平和存在的问题，直观地知道自己或同伴属于什么水平，学会反思，也学会帮助同伴，改进几何学习，提高几何学习的效率和效果。
　　 （3）总结一些克服解几何推理题感觉困难的一般策略
　　 通过借鉴SOLO分类法在几何教学中的个案应用，总结一些克服几何推理难点的一般策略，如分层批改作业法，思维导图法，间接条件法，同伴互助交流，划出已知、问题并与图相结合使用的实践动手策略等。
　　 5.个案研究的实施
　　 （1）6位选定的学生在一个规定的时间内进行测试。先做20分钟，再介绍SOLO分类评价法直至学生清楚方法的使用，再给学生15分钟用SOLO分类评价法的方法做，最后把学生使用SOLO分类评价法完成试题前后情况汇总（八年级题具体见附件1）：
　　 （2）通过分析学生在试题的问题，从而诊断学生在学习中存在的问题。
　　 （3）6位选定的学生在一个规定的时间内进行测试。先做20分钟，再次强调使用方法，再给学生15分钟用SOLO分类评价法的方法做，最后把学生使用SOLO分类评价法完成试题前后情况汇总（九年级题具体见附件1）：
　　 （4）通过分析学生在试题的问题，从而诊断学生在学习中存在的问题。
　　 五、总结一些突破几何推理难点的一般策略：
　　 1.利用思维导图整理知识网络和理顺解题的一般步骤
　　 几何部分的学习涉及很多相互之间存在密切关联的概念。对一些学习能力不强的学生，要记忆、理解、应用这些概念并利用这些概念建立起一个具有内在逻辑关系的网络是十分困难，从而经常会出现知识点遗忘或是概念混淆的情况，严重影响学习的效果。思维导图的运用可以以形象化的形式帮助学生建立起一个直观的可视化的宏观网络，把各个知识点，包括概念、定理、解题技巧、思想方法，以其内在的逻辑关系生动地组织起来，避免了知识点之间的孤立和碎片化，既有利于记忆，也有利于理解，同时体现了世界万物互联的思想。下面是学生对四边形这一内容的整理：
　　 同时，思维导图对于解几何题有着同样的功效。它可以帮助学生更好地分析理解题意，找到解决问题的关键，综合各种已知条件，促进推理和联想，在严谨的思维基础上做出合理的发散，从而更加科学高效地解题。它使整个解题过程不再神秘莫测，而是有章可循。我们根据解题时的思维发展可以把解题分成以下几个步骤：
　　 2.利用间接条件法让学生由易到难动手实践
　　 不管是在平时练习还是在各类中考题的难题中，几何题都不是难到一点都不能入手，往往只是有那么一两问不易理解，没有思路解决而已，而学生在解题时往往纠结于最难的一两问，没有从已知条件出发，寻找可以得到的间接条件，然后从这些间接条件的组合中寻找解决问题的策略。例如801B02在解决A层次第一题时开始不会，在介绍完SOLO分类评价法后笔者让他把所有从已知条件能得到的间接条件都写出来，他在题的边上一一列出，并在图中画出来，很快他就找到了解决問题的方法。
　　 如图4，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于G，
　　 EF⊥AB于F，问四边形CGFE是什么特殊的四边形，请证明。
　　 由角平分线AE、EF⊥AB、Rt△ABC得到CE=EF;
　　 由CD是斜边AB上的高、EF⊥AB得到CD∥EF;
　　 由Rt△ABC中、CD是斜边AB上的高、角平分线AE得到∠CGE=∠CEG，从而得到CG=CE。
　　 从而马上得到思路：先证CG平行且等于EF，得到四边形CGFE是平行四边形，再加上CE=EF或CG=CE即可，一组邻边相等的平行四边形是菱形。
　　 解决问题特别是难的综合题不是一蹴而就的，需要一步一步、由易到难去解决，很多时候读懂题意还不够，还要把所有能得到的间接条件都写出来并在图中画出来后才能真正理解题意，在此基础上再去组合间接条件，选择各种方案进行尝试，才能解决问题。
　　 3.培养寻找解题思路的三种方法
　　 解题思路是解决几何推理问题的关键，“授人以鱼，不如授人以渔”，培养学生寻找解题思路的方法非常必要和迫切。我们常见寻找思路的方法有三种：综合法、分析法、分析综合法，在平时的几何推理教学中要教给学生这些寻找解题思路的方法。例如综合法的培养，解题思路实质上就是从已知条件到解题目标的一连串的命题间的推出关系，即
　　 从已知条件到合适的备用条件一步一步、一环扣一环向解题目标迈进，综合法就是一种由因导果的方法，有了定义、定理、公理等命题作为基础和支撑，寻找解题思路就容易了。类似，分析法就是由果索因的方法，由解题目标去寻找目标成立的等价条件，从而一步步推向已知条件。当综合法和分析法使用不是很顺畅的时候，也可试试分析综合法。
　　 4.基本解题思路的整理
　　 好的方法只有真正落实了方能见效，因此克服学生的惰性，更真实地反应学生在学习中存在的问题成为当务之急。学生在平时审题时往往粗枝大叶，没有认真读题，懒得从已知条件推出间接条件，也懒得把已知条件和间接条件在图中画出来，从而造成对题意的理解不清，不能准确地解答问题，造成教师不能准确地获得学生真实的学习情况，影响教学效率。在平时的学习中学生也不能自觉、自然使用此方法，往往在教师的提醒下或遇到困难时，才会去使用，如何把SOLO分类评价法内化到学生的几何推理过程中，需要在教学中不断强化和使用，逐渐把方法使用培养成学生解题的习惯。
　　 在垂径定理有关的计算教学中，所有计算都与半径、弦心距、弦的一半有关，不外乎已知三者中的两个求剩下一个，或是已知三个中的一个和另外两个未知量的关系，求这两个未知量。解决这类问题的方法都是勾股定理，在图中三者缺什么就添什么。例如九年级A层次第一题中求点C的坐标（即求弦的一半OC的长）、九年级C层次第二题求AD的长（即求弦BD的长），做这样的计算题学生的思路就非常清楚了，九年级A层次第一题中缺半径所以要连接O'C，九年级C层次第二题中缺弦心距所以作弦心距CE。又如九年级A层次第二题和九年级B层次第一题中条件都有直径（或是圆周角是直角），对于这样的条件处理的基本思路，从关键词出发直径一般作直径所对的圆周角得到这个圆周角是直角;圆周角是直角一般连接这个圆周角所对的弦即这条弦是直径，接着根据其他条件相应解决。所以九年级B层次第一题的思路就非常简单只要连接AD得到圆周角ADB等于90°，再利用DC=BD，由中垂线得到AB=AC，问题解决。九年级A层次第二题中AC⊥CB，即∠ACB是90°的圆周角，所以AB是直径，因此要找r只要取AB的中点O并连接OC即可。通过基本解题思路的整理，提高学生分析问题、解决问题的能力。 　　 5.作业的分层批改和差异化的评价
　　 教师借鉴SOLO分类评价法诊断学生的思维水平和存在的问题，直观地知道学生属于什么思维水平，了解向思维水平向上一级迁移存在的主要障碍，同时要让学生明确自己的状况（会什么，不会什么，不会的原因是什么），反思原因，让他们找到提高思维水平和解决问题的切入点。教师要准确判断学生的实际水平，对学生的作业进行分层批改是一种不错的选择。作业分层批改可以帮助教师找到相同层次学生之间共性或类似的问题和不同层次学生之间存在的差异，而差异化的评价能针对不同层次的学生提出不同的要求，做出不同标准的评价，让尽量多的学生得到鼓励和支持，在自己现有的基础上得到不同的发展，实现个性化的教学。
　　 6.同伴互助学习
　　 同伴互助学习实质上就是聚焦于课堂教学中常常被忽视的生生互动环节，充分发挥其潜在的积极作用。和跟教师交流相比，同学之间的交流会更轻松、更顺畅，因为师生之间的差异，包括智力、学历、知识经验等，肯定比同学之间的差异来得明显。同学之间有着类似的学习背景、身心发展阶段、智力发育水平，对于同一个知识点容易产生相似的认知程度，他们可以更清楚地知道疑惑产生的原因，更高效地解答。在同伴互助学习中，学生自己、同伴之间根据SOLO分类评价法能判断学生自己或同伴的思维水平和存在的问题，直观地知道自己或同伴属于什么水平，学会反思，也学会帮助同伴，改进几何学习，提高几何学习的效率和效果。
　　 本文是借鉴SOLO分类评价法的个案研究，在个案研究上采取了一些方法和手段，也取得了一定的成果，但个案的研究成果对全体学生的几何教学是否有效，有待检验和进一步的研究，这是笔者下一步研究的重点。
　　 参考文献：
　　 [1]黄黎明，颜穗芬.SOLO分类评价理论及其对新课程改革的启示[J].天中学刊，2007（6）.
　　 [2]吴有昌，林晓君.运用SOLO分层法进行数学教学评价的一次调查研究[J].基础教育课程，2009（12）.
　　 [3]胡云亚.思维导图在初中数学中的应用[J].考试周刊，2009（9）.
　　 [4]杨其松.思维导图：数学解题教学的有效工具[J].考试周刊，2012（3）
　　 [5]刘坤，李岩，徐晓阳.试论命题间推出关系在中学数学中的基础地位与对策[J].数学通报，2012（9）
　　 八年级A层次第一题（见图5）：
　　 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，问四边形CHFE是什么特殊的四边形，请证明。
　　 八年级A层次第二题（见图6）：
　　 在四边形ABCD中M、N分别是BC、AD的中点，AB=CD，延长BA交MN的延长线与点E，CD的延长线交MN与点F。求证：∠BEM=∠CFM。
　　 八年级B层次第一题（见图7）：
　　 已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求证：∠EDG=∠EFG。
　　 八年级B层次第二题（见图8）：
　　 已知：如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作两个正△ABM和△CAN，D、E、F分别是MB、BC、CN的中点，连结DE、FE.求证：DE=FE。
　　 八年级C层次第一题（见图9）：
　　 已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点.求证：四边形DFGE是平行四边形。
　　 八年级C层次第二题（见图10）：
　　 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE=CF且四边形DEBF是平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形。
　　 九年级A层次第一题（见图11）：
　　 如图，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
　　 （1）求过A、B、C三点的抛物线解析式;
　　 （2）在（1）中的抛物线与⊙O′还有交点吗？若有则求出该点坐标，没有请说明理由;
　　 （3）（1）中的抛物线顶点在圆上吗？若在请说明理由，若不在，则请说出应怎样平移才能使抛物线顶点在圆上。
　　 九年级A层次第二题（见图12）：
　　 如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆半径为r。
　　 （1）求证：BE·BD=r·DE;
　　 （2）若BD=3，DE=4，求AE的長。
　　 九年级B层次第一题（见图13）：
　　 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，
　　 连结AC交⊙O于点F.
　　 问：AB与AC的大小有什么关系？为什么？
　　 九年级B层次第二题（见图14）：
　　 如图，AB和CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，AB=2，∠EAB=15°，AE、DB的延长线交于点F，求：
　　 （1）求∠FAD的度数;
　　 （2）△ADF的面积。
　　 九年级C层次第一题（见图15）：
　　 已知：如图，AB、DE是⊙O的直径，AC∥DE，交⊙O于点C，求证：弧BE=弧EC。
　　 九年级C层次第二题（见图16）：
　　 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，BC为半径作圆交AB于点D，求AD长。
　　编辑 李博宁
转载注明来源:https://www.xzbu.com/9/view-15117455.htm