等价关系在代数教学中的简化作用

来源:用户上传      作者:张丽娟

　　摘要：提出了代数中“相等关系”和“等价关系”两者之间的异同，进一步用代数中等价关系的一些具体形式：矩阵的初等变换，矩阵的相似，矩阵的合同，并结合实例说明了等价关系在代数教学中的简化作用。
　　关键词：等价关系;矩阵的初等变换;矩阵的相似;矩阵的合同
　　中图分类号：G642.4     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2020）15-0281-03
　　 代数上研究问题的一个基本思路：先提出问题，再考虑问题的特殊形式，最后考虑从简单到一般的过渡，进而解决一般性问题。而等价关系就是我们从简单到一般的纽带，它可以让我们把两类问题在等价关系连接下，保持要求性質不变，用简单替代一般。
　　一、相关知识点简介
　　1.相等关系：两个事物的相等关系是指这两种事物完全一样，例如3=3，苹果=苹果，直线和直线的重合等;两类事物的相等关系，任何一类事物都可以用集合表示，所以用A，B分别表示两类事物，则A=B就说明了两类事物的相等关系，我们通常用如下的数学方式说明两个集合的相等，即
　　A=B？圳A？奂B，B？奂A？圳？坌x∈A，可得x∈B;？坌y∈B，可得y∈A。
　　2.等价关系：关系是指一个A×A到D的映射R叫作A的元间的一个关系，其中D={对，错}。等价关系是指集合A的元素间的一个关系R为一个等价关系，假如
　　？坌a，b，c∈A有aRa;aRb？圯bRa;aRb，bRc？圯aRc。
　　相等关系是特殊的等价关系，两个元素相等时，它们具有完全相同的性质，但我们有时只需要考虑两种事物在某方面上性质的一致情况，从而将相等推广到等价。以下令F为任一数域，Mm×n（F）为数域F上所有的n阶方阵构成的集合。
　　二、教学实例
　　参考文献：
　　[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].第3版.北京：高等教育出版社，2014：205-226.
　　[2]张禾瑞，等.高等代数[M].第4版.北京：高等教育出版社，2002：141-206.
　　[3]刘仲奎，等.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003：110-151.
　　[4]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，2015：27-30.
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