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浅谈逆向思维在七年级数学教学中的应用

来源:用户上传      作者:王钰琪

  摘 要:七年级是小学升初中的过渡期与关键期,也是儿童认知水平达到形式运算阶段的转折点,此时的数学教学活动应该适当培养学生逻辑思维能力,例如有意识地在题目中开展逆向思维训练,为八年级下学期的反证法做铺垫,同时培养学生解决实际问题的能力。
  关键词:逆向思维;七年级数学;应用
  一、  引言
  在初中数学教学中,受传统教学观念的影响下,教师往往通过大量的重复练习,引导学生从已知条件中直接得出问题的解决方法,也就是常说的正向思维。然而这种正向思维虽然能够解决大部分基础练习,但是一旦遇到难度较大的应用题或几何证明题时,学生就会出现教师一讲就懂,教师不讲就发懵的状态。这也是很多七年级家长提出,孩子在小学明明成绩很好,但是一到七年级成绩就不如小学的问题。一方面,初中正好是儿童认知发展阶段的转折点;另一方面,从小学数学的形象思维到初中数学的抽象思维,学生需要一个转化与吸收的过程。
  为此,教师应在七年级的数学教学上加强学生逆向思维的训练。本文就七年级数学中一些实际例题进行展开,和各位七年级数学教师共勉。
  二、 逆向思维在七年级数学中的应用
  (一)公式类题目中逆向思维的应用
  初中数学的抽象思维体现在方方面面,其中数字到字母的转化尤为明显。以北师大版教材为例,七年级上期第三章《整式及其加减》中第一节字母表示数,就开始让学生体会一个字母可以表示任何数,为七年级下学期字母表示公式打下基础。而在含字母的公式类题目中,常常会出现公式的逆运用,这也就是一种逆向思维的应用。
  (二)应用题中逆向思维的应用
  应用题是很多学生从小学起就非常头疼的题型,到了初中应用题的文字内容增多、难度增大,更是让许多学生摸不着头脑,主要原因有以下几点:一是“入手难”,即应用题文字较多时,学生先入为主的排斥心理、畏难情绪就纷纷爆发了;二是“数据多”,当题目中数据较多时,学生往往很难提取出关键的重要的信息;三是“转化难”,现在很多应用题与实际相结合,而七年级学生的生活经验较少,所以很难将实际问题转化为数学模型。针对以上问题,本文主要以逆向思维的应用,以解决学生拿到题目束手无策的情况提供一些思路,促进学生去探索新的方法解决应用题。
  例3 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学题叫“宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(倍加增是从塔的顶层到底层)。
  北师大版教材七年级上册第五章的三到六节都是应用一元一次方程解决实际问题,应用一元一次方程解决实际问题的步骤:审、找、设、列、解、验、答,其中审题往往就是从问题出发,直接设元是设问题为未知数,再从已知条件中找到合适的数量关系以及等量关系,列出方程求解,这一过程其实就渗透了逆向思维。例3与中国古代数学相结合,在考查一元一次方程的应用的同时渗透了数学历史美。如果设顶层有x盏灯,根据“红灯点点倍加增”可以得出除了顶层外往下就分别是:2x盏灯、4x盏灯、8x盏灯、16x盏灯、32x盏灯、64x盏灯,再根据“共灯三百八十一”可列出方程:x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381,合并同类项后得:127x=381,系数化为一得:x=3,最后作答。通过一元一次方程的应用题步骤可以看出,不同于小学应用题直接列算式解答,初中方程思想更多的是活用逆向思维,从问题出发找到未知量与已知量的数量关系与等量关系,从而列方程解决问题。
  例4 某中学的实验室买了一些试剂,第一次,实验教师用了全部试剂的一半零半瓶;第二次,实验教师在实验时不小心打翻了余下试剂的一半零半瓶;而第三次,学生在教师的指导下将余下的一半零半瓶用完后,全部化学试剂都用完,请问共买了多少瓶试剂?
  按照惯性思维也就是正向思维思考,设共买了x瓶试剂,那么第一次就用试剂12x+12,那么第二次用量较复杂,可分步引导,第一次用后还剩下的试剂为x-12x+12,其一半为12x-12x+12,所以第二次共用了12x-12x+12+12,当学生分析到此时,已经感觉到计算量较大,畏难情绪难免又会跑出来,并且哪怕继续分析下去没有逻辑问题,但是解方程的计算量大,容易出错并且费时费力。所以此题可换一种思路,利用逆向思维分析问题,换一个突破口让计算更加简便,如设第二次剩下x瓶试剂,则根据第三次全部用完可列出方程:12x-12=0,解得x=1,再设第一次剩下y瓶试剂,则根据第二次使用情况可列出方程:12y-12=1,解得y=3,最后设最初共买了z瓶试剂,则根据第一次使用情况可得:12z-12=3,解得z=7,这样得出最后结论共买了7瓶试剂。通过这题我们不难看出,当直接设未知数计算量较大或者等量关系难以找到时,我们不妨改变一下我们的思路,利用逆向思维先求出第二次或者第三次的试剂数量从而得出最终答案,这就要求教师在遇到这类题型时需要引导学生多方位思考,除了正向思维以外多利用逆向思维思考并探索更多的方法。
  (三)几何证明题中逆向思维的应用
  关于几何证明题,以北师大版教材为例,其中七年级下册第二章就介绍了相交线与平行线,第四章从认识三角形到证明三角形的全等都是几何证明题。对于小学从来没接触过证明题的七年级学生来讲,几何证明题是一大难点,當然也是教学的关键点。教师应引导学生梳理自己的逻辑思维,并用规定的证明题符号进行书写,而此时逆向思维的训练也是必不可少的,它能帮助学生更好地梳理自己的思路,从而书写更加有逻辑性,也是拓展思维的好方法。
  例5 如图1所示,已知:M、N、P、Q在同一直线上,并且MN=PQ,MF∥EQ,EN∥PF,证明:MF=EQ,EN=PF。
  例5中已知条件既有线段相等又有直线平行,对于七年级学生来讲,平行线的性质不难,但是选取简单的条件能推导出结论的人并不多,所以教师在讲授此类型题目时应着重思维的训练。如果用逆向思维思考,要证明MF=EQ,EN=PF需证明△MFP≌△QEN,根据全等三角形的判定,要证明△MFP≌△QEN,需要找角相等和边相等,再结合条件MN=PQ得出MP=NQ,所以两个平行只需要证明角相等即可。通过此题不难看出活用逆向思维能让思路更清晰,在书写时只需要按正向逻辑顺序书写,保证几何证明题的书写不重不乱。   例6 如图2所示,已知BCE、BAG、AFE是直线,其中AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4。
  求证:AD∥BE。
  此题是平行线的判定与性质的综合性题目,学生往往惯性思维是根据题目条件分析,找到角的相等从而判定两直线平行,但是往往由于七年级学生刚刚接触几何证明题,思维上的跳脱,书写上的不规范都容易让此题的解答过程千奇百怪,甚至跳步骤漏步骤被扣分的情形也比比皆是。所以教師可以引导学生利用逆向思维先想清楚自己到底要利用平行线的判定哪一条,再逆向的去找所需要的条件,让思路更加清晰。平行线判定有三条,简称为:内错角相等,两直线平行;同位角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行。
  例6可分别从这三方面求证:
  证明1:要证∠2=∠E,且已知∠1=∠2,只需证∠E=∠1,而根据条件中∠3=∠4,所以只需证∠B=∠5即可。
  证明2:要证∠B=∠6,且因为AB∥CD可知∠6=∠D,只需证∠B=∠D,又因为∠1=∠2,∠3=∠4,可利用三角形内角和以及对顶角相等即∠4=∠7,得证∠B=∠D。
  证明3:要证∠B+∠BAD=180°,即证明∠B+∠1+∠8+∠2=180°,而由三角形内角和可知∠B+∠1+∠3=180°,所以只需证∠3=∠8+∠2,根据三角形外角和性质可知∠3=∠8+∠E,由证明1可证∠2=∠E,从而得证。
  综上所述,通过逆向思维七年级学生能开拓自己的思维,不会被一两种方法所限制,并且能够选择最简单的证明过程书写,这样也提高了几何题书写混乱、跳步骤、漏步骤等难题。
  三、 结语
  逆向思维是七年级学生在解决数学题目中必不可少的思维素质,作为教师必须注意培养学生的逆向思维能力,鼓励学生在解题过程中从别的角度出发,不要仅限于书本上的一种固定方法,以此突破学生在解题中的思维定式,解决正向思维无法解决的困难,促进学生的思维发展,为初中阶段八九年级以及高中阶段的数学思维做好铺垫。
  参考文献:
  [1]付瑞艳.逆向思维在初中数学解题教学中的应用[J].数学大世界,2019(4).
  [2]曹斌.逆向思维在初中数学解题教学中的应用[J].新课程,2019(4).
  作者简介:王钰琪,四川省成都市,四川大学附属中学新城分校。
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