统整经验：从结构到建构

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　　【摘 要】统整作为课程实践的一种重要方式，引领着师生不断经历课程的再创造、教学的再改革、实践的再出发。教师可以引导学生从已有经验出发，通过统整内容与方式加强个体与群体的关联，不断丰富学习体验，持续优化认知结构，完成从外在内容结构的认知到内在认知结构的建构，从而实现经验的增长与思想的生长。
　　【关键词】统整;经验;结构;建构;解决问题的策略（假设）
　　【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2020）49-0051-05
　　【作者简介】王岚，清华大学附属中学广华学校（北京，100124）副校长、小学部校长，正高级教师，江苏省数学特级教师。
　　【背景】
　　《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。在数学问题解决过程中，如何基于已有经验展开过程的体验，将实际问题抽象为数学问题，透过数学现象聚焦数学本质，从而引导学生从认识内容结构走向建构认知结构呢？
　　事實上，每个学生都是带着自我建构的全部经验走进课堂的。数学课堂需要有效激活学生的已有经验，鼓励他们自主创造经验，引领他们相互分享经验，从而使他们在原有经验与新创经验之间建构起关联，在直接经验与间接经验之间建立起联结，最终实现个体经验的升级与群体经验的升华。这就需要教师基于核心问题串设计专题任务单，引导学生从原有经验出发，尝试新创经验，并积极分享经验，进而提炼经验并应用经验，最终形成经验的生长链与思想的辐射场。笔者以苏教版六上第68～71页的内容为载体，以“解决问题的策略（假设）”为研究专题，进行了如下尝试。
　　【教学过程及分析】
　　一、情境再现，引出策略
　　课件出示乌鸦喝水、曹冲称象、司马光砸缸这三幅学生特别熟悉的故事画面。
　　师：咱们今天的数学课，用语文的方式开始。你能用最简短的词语或句子介绍每一幅图所描绘的场景吗？
　　生：乌鸦喝水;曹冲称象;司马光砸缸。
　　师：这三幅图中的乌鸦、曹冲和司马光都遇到了一个具有挑战性的——问题，他们都通过思考想出了解决问题的办法——策略，最终把问题——解决了。（板书：解决问题的策略）是啊，解决问题需要策略，运用策略可以更好地解决问题。今天这节数学课，我们继续研究——解决问题的策略。
　　本节数学课以看图说话导入，激发了学生的好奇心与求知欲，引导学生聚焦“解决问题的策略”这一核心话题。
　　二、自主探究，聚焦策略
　　1.在研究“倍比关系”的过程中初步感知假设的策略。
　　师：小明也遇到了一个具有挑战性的问题。（出示课件，如图1）
　　师：面对“小杯和大杯的容量各是多少毫升”这个具有挑战性的问题，你敢不敢自己尝试解决一下？
　　学生纷纷表示愿意接受挑战。各小组成员先理解题意，独立思考，在白板上写下解题过程后，相继进入讨论环节。教师巡视课堂，指导学生将部分作品贴在黑板上。
　　大杯和小杯的容量都需要学生求出，看似有一定的难度，但如果我们将视线放到学生的整个数学学习历程，就会发现学生已经有过解决此类问题的经验。苏教版五下第13页就已经出现过“和倍问题”类型的实际问题，只不过当时是用方程进行解答的。而将挑战的权利还给学生，面对这一新的问题情境，学生就有可能调动自己的学习经验，跨越原有“用方程解答”的思维定势，在多样的思路与不同的表达中深度聚焦数学的本质与方法的本源。
　　师：各个小组都展示了他们组的不同作品。黑板上的11份作品都完全不同吗？仔细观察，这些作品中有哪些在思路上是一脉相承的，可以分为一类？
　　请四位学生上黑板对11种解题方法进行分类，其他学生帮助补充与调整。
　　师：在大家的齐心协力下，我们把这11份作品分成了三类。提出第一类方法的同学紧紧抓住数量之间的关系，运用方程来解决实际问题。能否派一个代表来和大家分享一下你们是怎么想的？
　　生1：我个人认为当两个条件都不知道时可以列方程来解答，首先题目给我们的条件是大杯的容量是小杯的3倍，我们可以把小杯的容量设为x毫升，那大杯的容量就是3x毫升，之后我们列方程3x+6x=360，再通过解这个方程得到x=40，再根据题意，40×3=120，得出小杯的容量是40毫升，大杯的容量是120毫升。
　　师：思路特别清晰，表达也很简洁，大家理解了吗？
　　生：理解了！
　　师：我们再来聚焦另外两类没有用方程来解题的同学，他们都不约而同借助了一些工具，如示意图和线段图。看懂需要智慧，分享需要勇气。谁愿意和大家聊聊其中一类解题思路？
　　生2：我们其实都用了画图的策略。不同的是，有的同学用简笔画来表示，有的同学用线段图来表示。其实我们表达的意思是一样的，大杯的容量是小杯的3倍，我们可以把1个大杯看成3个小杯。
　　师：我特别喜欢“看成”这个词，就是把1个大杯假设成3个小杯，请继续。
　　生2：然后把假设成的3个小杯和题目中原有的6个小杯加在一起，一共就是9个小杯，它们的总量是360毫升，用360÷9=40（毫升），就求出每个小杯的容量，再用小杯的容量乘3就算出大杯的容量。你们听懂了吗？
　　其他学生纷纷点头，表示听懂了。
　　师：听明白的同学可以来总结一下这类方法。
　　生3：这类方法其实就是把1个大杯假设成3个小杯，这样就把大、小杯的问题变成小杯的问题了。
　　师：假设全是小杯，让问题迎刃而解，是个好办法！还有一类，哪位代表来分享？
　　生4：我们是这样想的，3个小杯的容量等于1个大杯的容量，一共有6个小杯和1个大杯，就相当于一共有3个大杯，一共倒了360毫升果汁，就要除以3，得到每个大杯的容量是120毫升。又因为3个小杯的容量等于1个大杯的容量，因而小杯的容量就是120÷3=40（毫升）。你们听懂了吗？有什么问题要问我吗？ 　　生5：这个3是什么意思？我不知道3是从哪里来的。（其他学生纷纷点头）
　　生4：3是每3个小杯等于1个大杯，6里面有2个3，因而6个小杯就等于2个大杯，再加上原来的1个大杯，就是3个大杯。还有其他问题吗？
　　生：没有了。
　　师：有没有人跟他的思路一样？
　　两位学生举起了手，教师把这两位学生的解法也作了展示。
　　师：他们的解法有什么相同点呢？
　　生5：都是把小杯全部假设成了大杯。
　　师：接下来请同学们看黑板，我们把这些解法分成了三类，第一类是方程，第二类是把大杯假设成小杯，第三类是把小杯假设成大杯。仔细思考，还有可以合并的类别吗？
　　生6：方程也是把大杯假设为小杯。
　　师：说得好！那现在我们再次调整，第一类是把大杯假设成小杯，第二类是把小杯假设成大杯。看上去分成了两类，这两类有什么相同点吗？
　　生7：它们都是把两个不同的类型转化成一个相同的类型。
　　师：是呀，大杯的容量我们不知道，小杯的容量也不知道。我们把两个未知量假设成了一个未知量。（板书：假设）假设，是一种解决问题的策略。
　　本环节，通过小组交流推选出小组中具有代表性的作品，并引导学生进行经验分享。有的学生用了方程解法，有的学生用了算术解法。有相同的思路，内心就会受到鼓舞;有不同的想法，思维就会受到启发。进而通过分类比较，聚焦解法差异。在观察、比较、分类中，学生对假设策略的认知也越来越深入。小组内的不同想法，大组间的不同表达，都是教学的最好资源。而学习，就在分享与交流中，在相同与不同中，悄然发生;经验，也在独创与共创中不断进化，在对比与交流中不断升级。在这样的过程中，学生个体的经验、小组内的经验与班级内的经验从相互分离到彼此融合，形成了从单一经验到多种经验的物理叠加，最终实现了从单维经验到多维经验的化学提炼。
　　2.在聚焦两个量关系的过程中逐步深化假设的策略。
　　师：同学们，刚才的这些算法都是把两个未知量假设成一个未知量。是不是所有情况下的两个未知量都可以假设成一个未知量呢？
　　生1：这两个未知量必须要有一定的关系。
　　师：这道题的两个量有什么关系呢？
　　生：倍比关系。
　　师：这样的倍比关系只能用题目中的这句话来表述吗？还可以怎样表述？
　　生2：小杯的容量是大杯的三分之一。
　　生3：1个大杯的容量等于3个小杯的容量。
　　生4：小杯的容量和大杯的容量比是1∶3。
　　师：当然，倍比关系还有其他的表述方法。表述不同，它们之间的关系变了吗？
　　生：没有，还是倍比关系。
　　3.在研究“相差关系”的过程中优化假设的策略。
　　师：题目中的40和120这两个量，除了可以用倍比关系来表达，还可以用什么关系来表达？
　　生5：大杯比小杯多80毫升。
　　生6：小杯比大杯少80毫升。
　　师：如果是相差关系的话，可以这样表述。（出示课件，如图2）你还能解决吗？
　　学生解题，教师巡视，学生小组讨论后将具有代表性的解法在黑板上展示，并让学生进行分类。
　　师：我们请提出第一类方法的代表来进行分享。
　　生1：我们是这样思考的，大杯和小杯的容量加起来是360毫升，有6个小杯和1个大杯，那我们可以用360-80，就等于把大杯里面多出来的80毫升从总容量里减去了，那个大杯就假设成了小杯，就相当于有7个小杯，280÷7=40，得出每个小杯有40毫升，再根据题意加上80毫升，每个大杯就等于120毫升。大家有什么问题吗？
　　生2：为什么要除以7？7是从哪里来的？
　　生1：本来有6个小杯，从1个大杯里减去80毫升就可以把它假设成1个小杯，总共就有7个小杯了。
　　生3：为什么要把大杯假设成小杯？
　　生1：因为题目中有两个未知量，不好求，所以要把其中一个未知量假设成另一个未知量。
　　师：把小杯假设成大杯的同学又是怎么想的呢？
　　生4：请同学们听我说，因为题目中说大杯的容量比小杯多80毫升，这里面有6个小杯，每个小杯比大杯少80毫升，题目可以假设成6个大杯但少480毫升，用360+480=840，在360里面把差的480毫升补上，现在就有7个大杯共有840毫升，那么每个大杯就有120毫升，再根据题意，就能求出每个小杯的容量是40毫升，同学们听懂了吗？还有什么问题吗？
　　生5：为什么要用360加上6个80？
　　生4：因为题目中有两个量不好求，所以要转化成一个未知量。
　　生6：7是从哪里来的？
　　生4：我们这里是把6个小杯假设成6个大杯，再加上题目中原本的1个大杯，所以现在题目中有7个大杯。
　　师：我也有一个问题，可以全部假设成小杯，也可以全部假设成大杯。可是，假设成小杯的同学有好多，而假设成大杯的同学很少。为什么大多数同学都选择假设成小杯呢？
　　生7：假设成小杯只要去掉1个80，假设成大杯却要增加6个80，当然是去掉1个80更好算了。
　　师：同学们不仅找到了各种解题思路，还能进行观察与比较、选择与优化，真会思考！
　　教材例1是倍比关系，例2是相差关系，教学参考用书建议用两课时完成这部分内容。从两个例题的关系来看，也是层层递进的。例1假设前后总量不变但份数在变，例2假设前后总量在变但份数不变。对学生而言，例1有相关经验与基础，而例2与之相比可借鉴的经验较少。本节课以关系为切入点，通过变化两个例题中数量关系的表达方式将两课时的内容整合为一个课时，从结构化的角度给学生提供了很好的思维支架。两者不同的是数量关系的表达方式，相同的则是都要将有关系的两个未知量假设成同一个未知量。
　　统整内容，从高位聚焦结构的一致性;统整经验，从实处彰显建构的同源性。同样的分类，同样的提问，从第一次有困难到第二次渐入佳境，可以感受到学生对于经验的分享从任务驱动逐步走向兴趣驱动。在不断推进和追问的过程中，学生对假设策略的认识也不断走向深入。而教师的提问“为什么大多数同学都选择假设成小杯呢？”，则似在平静的湖面投掷了一颗石子，在学生思维过程中引发了阵阵涟漪，使学生对经验的对比分析和策略的优化选择水到渠成。
　　三、总结全课，反思提升
　　师：在以前的学习中，你用假设的策略来解决过问题吗？
　　生1：我觉得列方程解决实际问题其实也是在运用假设的策略。
　　生2：解决“鸡兔同笼”问题的时候，可以假设鸡也有四条腿，或者假设兔子收起兩条腿。
　　师：这位同学很形象地表达了假设全部是兔和假设全部是鸡的两种思路。
　　生3：我们在计算除法时，常常把32看作30来试商。
　　生4：我还想到小时候遇到的天平上水果的重量问题也可以用假设的策略来求解。
　　师：是呀，回顾我们的学习过程，假设的策略原来早就在我们的经验库里了。而我们今天的自主尝试、小组分享、全班交流就是升级自己经验库的很好路径。让我们带着每个人的独特发现和共同收获走进更为广阔的数学世界！
　　学习往往不止于课本知识，课堂也往往不限于四十分钟。本节课以苏教版六年级教材为素材，引导学生在记忆中寻找、再认与强化，将过程体验与学习经验集群化;以内容的整合为载体，以方式的整合为路径，以经验的整合为核心，不断触发学生个体经验发展的生长点，不断关注学生群体经验升华的衔接点，不断聚焦学生自主建构的关键点。
　　基于内容的关系结构，聚焦方法的系统结构，并在此基础上重组、迁移、拓展结构，从关注知识结构走向关注方法结构、关注经验结构，甚或更进一步地帮助学生完善思维结构，这本身就是一种教学的意义建构。统整经验，需要从结构到建构，让学生在共享知识、共享方法、共享经验、共享成就的过程中最终走向共享“数学地成长”。
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