浅谈高考中直线和圆锥曲线问题的备考和解题策略
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解析几何大题在高考中，被大部分考生认为是比较难解的一类考题，尤其是文科试题中以压轴题角色出现，其难度不言而喻，因此被考生放弃的可能性很大，得分率很低，同时在专题复习中此章内容也不好掌握。因而一直令师生头疼，但若是掌握一些基本适用的应对策略，结合问题的独立性、方法的单一性，此类题也不难解决。即使学生不能得满分，但得到一半或一半以上的分数是可以实现的。本人经过多年的高三教学和对高考中解析几何大题的研究，我认为采用程序化策略复习和解决解析几何问题，会有意想不到的效果。特别是在直线和圆锥曲线相交的问题中尤其适用。这对2011年高考解析几何的专题复习具有一定的参考价值。下面我以椭圆为例来进一步说明和论述此策略的实施过程。
（1）设椭圆方程：利用焦点或准线方程形式确定椭圆焦点所在的轴从而设出椭圆标准方程 或 ，利用待定系数法进而求a,b，从而得到椭圆的方程；当不知道椭圆焦点所在的轴时，可以设椭圆的方程为mx2+my2=1(m,n＞0,m≠n)；当然，如果条件中给出了椭圆方程这一步骤就可以省略；
（2）设直线的方程；当直线过定点可设y-y0=k(x-x0)（点斜式），若条件不具体，则直线往往设成y=kx+m（斜截式），但不管那种形式都需要考虑直线斜率不存在即x=x0的特殊情况；
（3）若条件中涉及到两个交点，可设交点坐标A(x1,y1),B
(x2,y2)同时将直线和椭圆的方程联立得：（联立方程
组模式）消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程x2(b2+a2k2)+2kma2+a2m2-a2b2=0
注意：对于直线和双曲线问题要重视对二次项系数的讨论.
（4）若涉及两个交点
注意：对直线和双曲线相交问题要注意两个交点在同一支上还是在不同支上，从而建立不同的不等式.
（5）韦达定理的应用x1+x2,x1・x2可以用一元二次方程中的系数表示.同时注意：A(x1,y1),B(x2,y2)两点在直线y=kx+b上，则y1+y2=k(x1+x2)+2b,y1・y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,（将y1+y2,y1・y2用x1+x2,x1・x2表示，进一步用方程中的系数表示）
（6）若涉及到了AB的中点M，设M(x0,y0)（中点模式），则利用中点坐标公式得：
（7）若条件中涉及到了弦长，则弦长公式为；
（弦长模式），前面韦达定理中的x1+x2,x1・x2即可用上；
（8）若有其他条件立即坐标化：例OA⊥OB ；
典型试题分析
例1：（2009年高考全国卷Ⅱ，理21题，文22题）
已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线 与C相交于A、B两点，当 的斜率为1时，坐标原点O到
的距离为
（I）求a，b的值；
（II）C上是否存在点P，使得当 绕F转到某一位置时，有
成立？
若存在，求出所有的P的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。
解析：（I）（1）椭圆方程已给出，不必再设；
（2）设当 的斜率为1时，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线F(c,0),设直线方程为y=x-c;整理得x-y-c=0进一步翻译条件。o到 的距离为
故，c=1
由
得 ，
（Ⅱ）（1）设C上存在点p，使得当 绕F转到某一位置时，有 成立。
（2）当 不垂直x轴时(斜率存在),直线过定点（1，0），设
的方程为y=k(x-1)，
（3）由（Ⅰ）知C的方程为2x2+3y2=6.直线交椭圆于A、B两点，设点的坐标A(x1,y1),B(x2,y2)并且直线方程与椭圆方程联立方程组 消去y得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0
考察韦达定理
代入直线方程，求出
（4） 向量条件坐标化即 ＝(x1+x2,y1+y2)所以 p点的坐标为(x1+x2,y1+y2)，且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6
整理得
故①
（5）将 ,
代入①解得，k2=2，此时x1+x2=
于是
因此，当
当
（6）当 垂直于x轴时（斜率不存在），由 知，C上不存在点P使 成立。
（7）下结论 综上，C上存在点 使 成立，此时 的方程为
例2：（2010年高考安徽卷）
已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴，焦点F1,F2在x轴上，离心率e=
（1）求椭圆E的方程
（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程
（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。
解析：（1）设椭圆E的方程为
由e= ,即 ，a=2c,得b2=a2-c2=3c2
∴椭圆E的方程具有形式
将A(2,3)带入上式，得 ，解得c=2
∴椭圆E的方程为
(2)
∴直线l的斜率为2直线
∴直线l:y-3=2(x-1),即2x-y-1=0
(3)假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称，
则
设直线BC的方程为y=- x+m，将其代入椭圆方程
得一元二次方程
则x1与x2是该方程的两个根得
由韦达定理得x1+x2=m
于是
∴B,C的中点坐标为
又线段BC的中点在直线y=2x-1上
即B,C的中点坐标为（2,3），与点A重合，矛盾。
∴不存在满足题设条件的相异两点。不存在
综上所述，运用程序化策略解决解析几何问题，使得看似复杂灵活的问题变得有章可循，我认为此方法不仅适合于解析几何问题，还可以用来解决其他的数学问题，本文权作抛砖引玉，希望能给对数学苦恼的师生一点启示。
（作者单位：安徽省太湖县二中）
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