浅谈抽象函数问题的解法

来源:用户上传      作者:

　　高考数学试题中经常会出一些抽象函数问题，虽然抽象函数没有具体的函数解析式，学生解题是感到无处下手，但大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景而得，解题时，若能以研究抽象函数的背景入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比，猜想出可能属于某种函数。从而获得解题思路。下面谈几类抽象函数问题及其解法。
　　1、 线性函数型抽象函数
　　线性函数型抽象函数是由线性函数抽象而得到的函数。
　　例1. 已知函数的定义域为R，且对任意量X、Y∈R，有 ，当X＞0时， ＜0，
　　（1） 证明： 为奇函数；
　　（2） 证明： 在R上为减函数；
　　（3） 求 在区间[-3,3]上最大值和最小值
　　分析：由条件可猜测背景函数为
　　解：（1）令X=Y=0，得
　　又
　　∴
　　∴ 是奇函数。
　　（2）任取X1＜X2，则
　　∵ ＞0
　　∴ ＜0
　　∴ ＜
　　∴ 在R上为减函数。
　　（3）略
　　
　　点评： 在定义域上有单调性，则 ＜ x1＜x2 ,函数不等式（或方程）的求解，总是想方设法去掉抽象函数符号，化为一般不等式或方程求解，但无论如何都必须在定义域内或给定范围内进行。
　　
　　2、指数函数型抽象函数
　　指数函数抽象函数，即由指数函数抽象而得到的函数。
　　例2：设函数 的定义域是R，当X＞0时， ＞1，且对任意X、Y∈R，都有
　　证明：（1）
　　 （2） 在R上是增函数
　　解析：由条件可联想到 的背景函数是 =ax（a＞1）
　　证明：（1）令X=1，Y=0，得
　　因为X＞1
　　所以 ＞1，则
　　 （2）任取X1、X2∈R，且X1＜X2
　　所以，
　　=
　　=
　　因为 x2-x1＞0
　　所以， ＞1，即1- ＜0
　　下面证明 ＞0
　　当X1＞0时， ＞0
　　当X1=0时， = =1＞0
　　当X1＜0时，-X1＞0， ＞0
　　 = ＞0
　　从而 [1- ]＜0
　　所以 ＞
　　则 在R上是单调递增函数。
　　
　　点评：解决此类问题关键由已知条件和所求结果找出对应的指数函数模型，然后用其性质即可得出结果。
　　3、 对数函数型抽象函数
　　对数函数型函数是由对数函数抽象而得到的函数。
　　例3.设函数 的定义域为（0，+∞）上单调递增，满足 ，
　　（1）求证明
　　（2）求
　　（3）若 ，求X的范围
　　（4）证明： （n∈N+）
　　分析：由条件 的定义域为（0，+∞）上单调递增，且 ， ，欲证 、 ，可猜测 的背景函数为
　　解：（1）令X=1，Y=2，得
　　 ，从而
　　（2）
　　（3）
　　所以x2-3x≤4,解得-1＜X≤4
　　又因为X-3＞0，所以3＜X≤4
　　（4）因为
　　所以
　　
　　点评：解此类问题关键是由已知条件和所求结果找出对应的对数函数模型，然后用其性质即可得出结果。
　　4 幂函数型抽象函数
　　幂函数型抽象函数是由幂函数抽象而得到的函数。
　　例4、已知函数 对任意实数X、Y都有 ，且 ， ，当0≤X＜1时，
　　（1）判断 的奇偶性
　　（2）判断 在 的单调性，并给出证明
　　分析：由题设可知 是幂函数 的抽象函数，从而猜想 是偶函数，且在 是增函数。
　　解：（1）令Y=-1，得
　　因为 ，所以 ，则 是偶函数
　　（2）设0≤X1＜X2，则
　　
　　因为当0≤X＜1时， ，所以
　　所以 ，故 在 是增函数。
　　从以上例子可以看出，在求解抽象函数有关问题时，利用“背景函数”，通过对其性质研究，能找到某些抽象函数若干性质的证明通道，从而化抽象为具体，由联想到论证，从而使抽象函数的问题得到解决。
　　（陕西省洋县城关中学）

转载注明来源:https://www.xzbu.com/9/view-3035687.htm