以平面坐标系为背景的动圆问题
作者 :  朱广科

   (2010山东济南)如图1,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,直线BD的函数表达式为y= -x+3,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C,与x轴交于点E.
  (1)求A,B,C三点的坐标.
  (2)点P为线段AB上的一个动点(不与点A和点B重合),以点A为圆心、AP长为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、BP长为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连结AN,BM,MN.
  ①求证:AN=BM.
  ②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?求出该最大值或最小值.
  (1)令-x2+2x+3=0,解得x=-1,x=3,所以A(-1,0),B(3,0). 因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以抛物线的对称轴为直线x=1. 将x=1代入y=-x+3得y=2,所以C(1,2).
  (2)①在Rt△ACE中,tan∠CAE==,所以∠CAE=60°. 由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线,所以AC=BC. 所以△ABC为等边三角形. 所以AB=BC=AC=4,∠ABC=∠ACB=60°. 又因为AM=AP,BN=BP,所以BN=CM. 所以△ABN≌△BCM. 所以AN=BM.
  ②四边形AMNB的面积有最小值,设AP=m,四边形AMNB的面积为S,由①知AB=BC=4,BN=CM=BP,S=×42=4,所以CM=BN=BP=4-m,CN=m. 点过M作MF⊥BC,垂足为点F,则MF=MC・sin60°=・(4-m),所以S=CN・MF=m・(4-m)= -m2+m,所以S=S-S=4--m2+m=(m-2)2+3 . 所以当m=2时,四边形AMNB的面积取得最小值3.
   本题设置了圆心不动而半径变化的两圆相切的问题情境,即由于点P的运动引起两圆半径的变化,以致引起四边形AMNB的面积的变化.本题的难点是如何用含x的代数式表示出四边形AMNB的面积关系式.可见,如何在动中找到特殊点,如何将复杂问题转化为简单问题是解决此类问题的关键.
   (2010云南昭通)如图2,直线l的解析式为y=-x+6,它与x轴、y轴分别相交于A,B两点,平行于直线l的直线n从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒,运动过程中始终保持n∥l,直线n与x轴、y轴分别相交于C,D两点,线段CD的中点为P,以点P为圆心、CD为直径在CD上方作半圆,半圆面积为S,当直线n与直线l重合时,运动结束.
  (1)求A,B两点的坐标.
  (2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.
  (3)直线n在运动过程中, ①当t为何值时,半圆与直线l相切?
  ②是否存在这样的t值,使得半圆面积S=S?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.
  
  (1)根据一次函数与坐标轴的交点坐标特征易求A(6,0),B(0,6).
  (2)由于在运动过程中n∥l, 所以CD===t. S=πPD2=π・t2=πt2(0