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抽象函数的常见问题的求解策略

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  抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。其作为初等数学和近代数学的衔接点,既能体现数学的本质特征,又能体现新课标对知识和技能考核的要求,必将受到高考的重视。但由于抽象函数具有概念抽象、构思新颖、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高等特点,在学习时使不少学生倍感困惑。以下介绍几种解决抽象函数问题的方法,力求使抽象函数问题的求解有“章”可循。
  一、定义域问题
  求定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求,一般有两种类型:
  (1)已知 的定义域是A,求 的定义域;
  (2)已知 的定义域是A,求 的定义域;
  例1 已知函数 的定义域是 ,求函数 的定义域。
  解:∵ 的定义域是 ,∴ 的定义域由下列不等式组的解集确定:
  故函数 的定义域为 。
  例2 已知函数 的定义域是 ,求函数 的定义域。
  解:∵ 的定义域是 ,是指 ,∴ 中的 满足
  故函数 的定义域为 。
  点评:求抽象函数定义域问题,实际上就是以函数的定义为背景,正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题要抓住两点:
  (1)函数定义域是指函数自变量 的取值范围;
  (2)复合函数特点:将函数 中的 看做 中的 ,它们的取值范围相同。
  二、求值问题
  例3 已知定义域为 的函数 ,同时满足下列条件:① ;② ,求 的值。
  解:取 ,得 ,又∵ ,∴
  又取 ,得 。
  点评:赋值法是解此类问题的常用技巧。而怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复实验。如例3中通过观察已知与未知的联系,可以巧妙地赋值,取 ,这样便把已知条件 与欲求的 沟通了起来。
  三、奇偶性问题
  例4 (1)已知 对一切实数 都成立,且 ,求证 是偶函数。
  (2)已知函数 ( 且 ),对任意不等于零的实数 都有 ,试判断 的奇偶性。
  分析:函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称,再考虑 与 的关系。
  解:(1)取 ,得 ,取 ,得 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,即 是偶函数。
  (2)取 ,得 ,取 ,得 ,取 ,得 ,所以 ,所以 ,所以 ,即 是偶函数。
  点评:判断抽象函数奇偶性的关键是理解函数奇偶性的定义,明确目标(探究 与 的关系),活用抽象式,巧妙赋值。
  四、单调性问题
  例5 已知偶函数 ( 且 ),对定义域内的任意实数 都有 ,且当 时, , ,
  (1)求证: 在 上是增函数;(2)解不等式 。
  解:(1)取 ,则
  因为 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 ,即 在 上是增函数;
  (2)因为 ,所以 ,因为 是偶函数,所以不等式 等价于 ,又 在 上是增函数,所以 ,解得 。
  点评:抽象函数的单调性问题多用定义法解决,而解不等式的关键是利用函数单调性去掉符号“ ”。
  五、周期性与对称性问题
  由抽象式简单判断:同号看周期,异号看对称。常用结论如下表:
  周期性 对称性
  例6 已知定义在R上的奇函数 满足 ,则 。
  解:因为 是定义在R上的奇函数,所以 ,又 ,所以 是周期为4的周期函数,所以 。
  例7 设函数 对任意实数 满足 ,且方程 有且只有6个不同的实根,则这6个根之和为 。
  解:由条件 知函数 的图像关于直线 对称,则方程 的根也关于直线 对称,设 为方程 从小到大地6个根,则 ,故 。
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