抽象函数方程解法探讨
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作者: 朱建军
摘 要：函数是中学数学中的一个重要的概念，是高中函数部分的难点之一，此类试题不仅能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐。本文探讨用多种方法，从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题。
关键词：函数方程；抽象函数；解法
中图分类号：G427 文献标识码：A
文章编号：1992-7711（2013）23-053-1
函数是中学数学中的一个重要的概念，是高考数学的重点内容之一。所有的函数关系都可以用一个抽象的符号y=f（x）来表示，在实际的情境中，常出现抽象函数方程的问题。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难。但由于此类试题既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，本文探讨用多种方法，从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题。
一、利用特殊模型法
有关抽象函数的问题往往是已知函数在定义域内满足一些性质和运算规律，进一步推理其他的性质和运算规律，有时候用常规方法解决很难，但与学过的具体函数相结合，问题就容易解决。
1.指数函数型模型
例1.定义在R上的函数y=f（x），当x>0时，f（x）>1，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）f（b）成立。试判断函数f（x）的单调性。
解析：要判定函数的单调性可以直接用定义的方法去解决。
对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）f（b）成立。
可猜想抽象函数f（x）生成的原型函数：f（x）=ax，x>0时，f（x）>1，可推出底数a>1，由此可大胆猜想：函数f（x）在R上是增函数。
2.对数函数型模型
例2.如果函数f（x）的定义域为R+，且满足：f（xy）=f（x）+f（y），f（8）=3，那么f（2）= 。
分析：根据函数f（x）的定义域为R+，且满足：f（xy）=f（x）+f（y）。
可构造函数f（x）=logax，由f（8）=3，解出a=2，从而解得f（2）=12。
二、函数性质法
函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有：利用奇偶性整体思考，利用单调性等价转化，利用周期性回归已知，利用对称性数形结合。
例3.已知定义在R上的函数f（x），x≠0对任意不等于零的实数m，n，都有f（m・n）=f（m）+f（n）成立，且f（4）=2，试判断函数f（x）的奇偶性并求f（-2）。
分析：根据函数奇偶性的判定方法，找出f（-x）与f（x）的关系，是本题的关键所在，而用特殊值进行验算是解决抽象函数问题的常用手段。
解：令m=-1，n=1，得f（-1）=f（-1）+f（1），所以f（1）=0，又令m=n=-1得f（1）=f（-1）+f（-1），所以f（-1）=0，再令m=x，n=-1，得f（-x）=f（-1）+f（x），即f（-x）=f（x），又定义域为{x|x≠0}，所以f（x）为偶函数。又f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2，所以f（2）=1，则f（-2）=f（2）=1。
三、特殊化方法
1.在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成-x等。
例4.设f（x）是实数函数，且f（x）-2f（1x）=x，求证：|f（x）|≥232。
解析：用1x代换x，得f（1x）-2f（x）=1x，与已知联立方程组得，x2+3xf（x）+2=0，此方程是有关x的一元二次方程，由题意得：由Δ≥0，得9f2（x）-4×2≥0，所以，|f（x）|≥232。
2.在求函数值时，可用特殊值代入。
例5.定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（-2）等于 。
解析：对于求具体的函数值，我们需要对抽象函数方程进行不断地赋值。
令x=y=0f（0）=0，令x=y=1f（2）=2f（1）+2=6；
再次，赋值。令x=2，y=-2得0=f（2-2）=f（2）+f（-2）-8f（-2）=8-f（2）=8-6=2。
评注：此类解法需要我们不断地对函数方程进行多次尝试赋值，直到找到所求的函数值。
总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难奏效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感。
[参考文献]
[1]袁媛.抽象函数问题的类型.中学生数理化（尝试创新版），2013（07）.
[2]张会宾.例谈抽象函数常见类型与解题策略.语数外学习（数学教育），2013（07）.
[3]傅旭丹.关于几类抽象函数的详解.上海中学数学，2013（04）.
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