例谈初中数学定理教学
作者 :  赵华云

  数学定理是经过数学证明确认其真实性的命题。数学定理是数学的灵魂,也是学习数学的航标。初中阶段是学生系统学习数学定理的起始阶段,数学定理是初中数学的重要教学内容,是培养学生数学推理能力、逻辑思维能力和创新意识的重要途径,学生只有系统地掌握数学定理,才能不断提高数学基本能力,顺利解答有关数学问题。
  1.了解定理的由来,引导学生发现定理
  现代教育理论认为,教师在课堂教学中的任务是为学生创设学习情境,恰当地组织和引导学生的学习活动,使学生能够自主获得知识,并促进智能的发展。
  了解定理的由来,不仅有助于学生理解和记忆定理的具体内容,而且有利于培养学生的数学发现和数学创造能力。数学定理是从现实世界的空间形式或数量关系中抽象出来的。要使学生了解定理的由来,通常可采用两种方法:一是通过对具体事物的观察、测量、计算、作图等实践活动去猜想;二是通过一定的推理来发现。
  例如,学习平行四边形的性质定理时,让学生观察手中准备好的平行四边形的边、角和对角线,通过测量、计算、旋转、平移、对折等方法,记录下有关数据验证猜想:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。又如学习三角形内角和定理时,可以用硬纸做一个三角形,把它的三个内角剪开后拼在一起,看看能否拼成一个平角;或者用量角器度量出三角形的内角,算算三个内角的和是否等于180°,从而发现这个定理所做的判断。
  2.明确定理的题设(条件)和结论
  认识定理的结构是证明定理的基本出发点,它的主要任务是帮助学生分析定理的条件和结论,发掘定理所涉及的概念的特征或图形的性质,利用有关数学符号,把已知和求证确切而简练地表达出来。
  正确书写证明过程的前提是学会用符号语言书写几何定理,因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位,可采用“一划、二画、三写”的步骤,让学生尽快熟悉每一个定理的题设和结论。
  例如,角平分线的性质定理:“角平分线上的点到角的两边的距离相等。”
  一划:就是划出定理的题设和结论。用直线划题设,用波浪线划结论。
  题设是“角平分线上的点”,结论是“点到角的两边的距离相等”。定理中所说的角平分线上的点,是指角的平分线上的“一切点”或“任一点”。所以这一定理实质上就是:“角的平分线上的任一点,到这个角的两边的距离相等。”用假言命题来表述,就是:“如果一点在一个角的平分线上,那么这点到这个角的两边的距离相等。”
  二画:根据定理的题设(条件)和结论,画出所对应的基本图形。
  图1
  这里,题设和结论都包含需要进一步明确的概念:“角的平分线”、“点到直线的距离”,只有把这两个概念具体化,才能用数学符号表述命题的已知和求证。
  三写:根据定理内容及所画基本图形,用符号语言表达定理的已知和求证。
  已知:如图1所示,∠AOC=∠BOC,点P是OC上的一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,求证:PD=PE。
  这样,学生就不难理解定理的本质,也容易发现证明定理的方法。
  3.研究证明的方法、途径
  定理的证明是定理学习的重点,通过证明可以帮助学生弄清事物间的本质联系,加深对数学定理的理解,不仅知其然,而且知其所以然,便于记忆和应用。教材给出的定理的证明方法,一般都具有一定的代表性。掌握这些证明方法,有助于发展学生的逻辑思维,使学生逐步养成严谨地思考问题的习惯,提高分析和解决问题的能力。
  学习定理的证明,应使学生明确证明结构,掌握常用的各种证明方法,在证明过程中遵守证明的规则。为此,必须加强分析,把分析法和结合法结合起来使用。对于结构比较复杂的定理,可以先以分析法为主寻求证明思路,分析证明方法的来龙去脉;然后用综合法表述证明过程,把整个证明连贯地、完整地叙述出来,注意书写的格式和每一步推理的依据。
  4.加强定理的应用
  学生掌握定理是有一个过程的,一般是先懂―再会―后熟。应用所学定理解答有关的实际问题,实现这一过程的重要环节,可以结合例题和习题,通过动笔、动口、动脑,自己总结定理的使用范围,明确应用时的注意事项,把握所解决的问题的基本类型。
  例如,一元二次方程的根与系数的关系,常用以解答以下各类基本问题:(1)求解含有参数的一元二次方程;(2)不解方程,求一元二次方程的两根的齐次式的值;(3)求作一元二次方程,使它的根分别是已知数x■和x■;(4)已知两数的和与积,求此两数;(5)不解方程,判断一元二次方程的根的符号;(6)已知含参数的一元二次方程两根所满足的条件,求参数间的关系。通过这样的总结,可以全面把握一元二次方程根与系数的关系的应用,了解它所解答的数学题的特点,从寻求解题依据的角度提高解题能力。
  5.系统地整理定理
  弄清各个定理在数学体系中的地位、作用,以及定理之间的内在联系,可以从总体上把握数学定理的全貌。了解每个定理在知识体系中的来龙去脉;在总结复习时,可运用图示、表解等方法,把学过的定理进行系统整理。
  例如,点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系,复习时可以整理成下表,沟通定理间的内在联系。
  表中R、r表示圆的半径;d在点和圆的位置关系中表示圆心到点的距离,在直线和圆的位置关系中表示圆心到直线的距离,在圆和圆的位置关系中表示两圆心间的距离。
  数学中的定理是揭露和反映数学概念本质属性间的联系的一种重要形式。学生要积极参与定理的探索、发现、推导的过程,不断在数学思想方法指导下,弄清每一个题设、结论的因果关系,亲身体验到创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法。在学习定理时,避免死记硬背、生搬硬套,要做到“活学活用”,灵活巧妙地应用定理,提高实际应用能力。