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高中数学中常见抽象函数的解法

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  笔者在长期的教学中发现:学生很惧怕做抽象函数的题目,因为抽象函数没有具体的解析式,学生不知道从哪里下手。其实,很多的抽象函数的‘原形’都是我们学过的基本函数,解题时,如果能从抽象函数的‘原形’入手,根据题设中抽象函数的性质,通过类比,联想它可能是某种基本函数,常可以寻得解题思路,下面举例说明。
  一 一次函数型的抽象函数
  例1已知函数f(x)对于任意x,y∈ R时,总有f(x)+ f(y)= f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2/3
  (1) 判断f(x)的奇偶性
  (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值
  分析:有题设可知,函数f(x)是y=kx(k≠0)的抽象函数,可以猜想是奇函数,要求函数最值,要研究函数的单调性。
  解:(1)令x=y=0,∴f(0)=0,令x=-y可得f(-x)=-f(x),∴由定义知f(x)是奇函数
  (2)在R上任取x1>x2,则f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)= f(x1-x2)又∵x1>x2,∴x1-x2>0,又∵x>0时,f(x)<0,∴f(x1-x2)<0既f(x1)-f(x2)<0。由定义可知f(x)在R上是单调减函数。∴f(x)在[-3,3]上也是减函数。 ∴f(-3)最大,f(3)最小,∵f(3)= f(2)+ f(1)= f(1)+f(1)+ f(1)=3 f(1)=-2,∴f(-3)=-f(3)=2,既f(x)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2。
  二 指数函数型抽象函数
  指数函数型抽象函数,既由指数函数抽象而得到的函数
  例2 设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m,n恒有f(m+n )= f(m)f(n),且当x>0时,1>f(x)>0,
  (1) 求f(0)的值
  (2) 求证:f(x)在R上单调减
  分析;由题设可猜测f(x)是指数函数y=ax的抽象函数,从而猜测f(0)=1
  解:(1)∵f(m+n )= f(m)f(n)令m=1,n=0则f(1)= f(1)•f(0)且由x>0时,0<f(x)<1,所以f(0)=1
  (2)设x1<x2,则x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1,所以f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)= f(x2-x1)f(x1)-f(x1)= f(x1)[f(x2-x1)-1]<0,∴f(x)在R上是减函数
  三 对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数
  例3 定义域在(0,+∞)上的函数f(x),满足(1)f(2)=1;(2)f(xy)= f(x)+ f(y);(3)当x>y时,有f(x)>f(y),若f(x)+ f(x-3)≤2,
  (1) 求f(4)的值
  (2) 求x的取值范围
  分析:由题设可以猜想是对数函数y=log2x的抽象函数,f(4)=2
  解:(1)由已知得:2=1+1= f(2)+ f(2)= f(2×2)= f(4),∴f(4)=2。
  (2)∵f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]=f(x2-3x),又∵f(x)+ f(x-3)≤2,∴f(x2-3x)≤f(4),∵当x>y时,有f(x)>f(y),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数
  x>0
   X-3>0 解得x的取值范围为:(3,4]
   X2-3x≤4
  除以上三种常见抽象函数类型以外,还有其他类型的抽象函数,如三角函数型抽象函数,幂函数型抽象函数等,这里就不举例说明,只要掌握上述常见三种类型抽象函数的解法,其他类型的抽象函数问题就可以迎刃而解。
  


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