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概率论与数理统计教学探索

来源:用户上传      作者: 王 成 邹海雷

  摘 要:在概率统计教学过程中注意培养同学们数学建模意识。多举实例,教他们学会对实际生产生活问题建立概率统计模型,并力争独立解决。提高学习兴趣,引导自主学习并真正做到学以致用。
  关键词:数学建模 概率统计 自主学习
  
  概率论与数理统计是所有高等院校的理工、经济管理、金融类专业本科阶段开设的一门必修数学课程,同时有不少人文社科类专业也在开设这门课程。它是与实际生产生活联系最为密切的一门课程。由于它在自然科学、社会科学、工农业生产、金融经济等各方面的广泛应用,本课程在高等学校教育中的重要地位日益凸现。因此,作为本门课程的授课教师,不仅要给同学们讲解它的基本理论知识,更重要的是引导学生学会运用概率统计的思想方法,来解决实际问题。这是每位授课老师义不容辞的职责,也是同学们学习的动力源泉和最终归宿。
  为了使同学们更好地运用概率统计,这种数学方法解决实际问题,在课堂上可以花少量时间向同学们介绍数学建模的思想,树立他们运用数学方法,解决实际问题的意识和全局观。当然,在我们概率统计的教学课堂上,主要是教学生如何建立概率统计模型去解决实际问题,告诉他们概率统计模型是在处理随机性问题时非常有力有效的模型。一旦同学们体会到了这一层,就会变被动学习为主动学习,学习效果当然也会大为提高。作为老师,大约可以从以下几方面来做。
  
  一、告诉大家什么是“数学建模”
  
  “数学建模”是指根据生产、生活中遇到的实际问题的特点和规律,抽象和提炼出一个数学问题,用数学的工具,包括计算机、信息查询等手段来求解,并将结果经解释验证后用于解决实际问题,指导生产生活的过程。作为数学研究与实际的社会生产生活交叉组合,而产生的一个新兴的学科领域,数学建模随着电子计算机这一高科技运用的不断普及而日显重要。
  课堂上可以举几个随处可见的易于理解的实例,来阐述数学建模的概念和威力。比如:椅子能在不平的地面上放稳吗,人口增长的规律如何呢,双层玻璃比单层玻璃的隔热性好多少等等。当然,无需把每个问题讲得很详细,只需告诉同学们这些实际生活中的问题,可以转化成数学的符号和公式,运用数学方法能得到满意的解决。
  对于不同的甚至相同的实际问题,运用数学中不同学科领域的理论和方法,可以建立各种不同的数学模型。它们各有优劣,在实际建模中应该视具体问题,选择相对更有效更精确的数学工具建立模型,以实用作为主要原则。而运用概率统计思想方法建立的数学模型就是概率统计模型。在概率统计课堂上,对于一般数学建模的概念和思想不用花很多篇幅讲解,只是让大家有这么一个建模的意识和全局观即可。
  
  二、注重讲解概率统计模型的实例,激发兴趣
  
  随机现象在日常生活中无处不在,比如产品的销售与库存、股票期权等投资分析,气象预报、社会经济预测控制等问题。它们几乎都可以建立概率统计的数学模型进行解释和解决。要想提高学生建立概率统计模型解决问题的能力,在教学中可以选择具有丰富现实背景的学习材料,从现实生活中找素材,激发学生利用概率统计方法解决实际问题的“欲望”。我们教师可以从简到难,先提一些简单的实际问题,帮助同学们理解,增强他们的信心;然后随着学习的不断深入,知识的不断增多,再逐步提出复杂一些的问题,这样同学们解决问题的能力就会得到较快的提高。
  比如,在开始学习泊松分布时,我们可在课堂上举类似如下的一个简单的例子。
  例:某商品的月销售量X服从参数为10的Poisson分布,问:这个月底的库存应为多少才能保证下个月不脱销的概率不低于0.95?
  尽管这个例子看起来很简短,但是从以往课堂上同学们的反应来看,发现初学者理解起来还是有难度的。对他们来说关键的难点在于:这个问题中哪个量是随机变量,哪个量是要需要我们人为去决策的普通变量。对这个问题初学者往往比较模糊,需要多加思考练习和体会。我们在教学中要有意识地引导同学们弄清这个关键点,然后才能把模型建好。就此例而言,月销售量X是一个随机变量。我们设这个月底的库存为a,它就是一个决策变量,就是高等数学里面的普通未知数,而不用看成随机变量。那么这个问题就可以转换为这样简单的数学模型:
  这个模型很容易求解。当同学们理解了这个思路以后,就会觉得很有意思,增添了兴趣。
  再比如,学习了数学期望之后,可提出这样的实际问题让同学们考虑。
  例:设报童每天从邮局订购零售报纸,批发价为每份0.4元,而每天报纸的需求量X服从正态分布N(150,36),零售价为每份0.6元,如果当天的报纸卖不掉,他就按每份0.2元处理掉。为使获利最大,报童每天应向邮局订购多少份报纸?
  告诉同学们这里只是以报童卖报问题为例,这类问题非常多,企业的生产、销售、削价都是类似的。先让同学们自己独立思考,细致地分析,大胆地写出模型求解。哪怕一开始写错也没关系,只有这样才能不断进步。等同学们有了自己的思路之后,我们再来讲解正确的做法。这个问题比前一个问题复杂许多了,关键的还是分清楚普通自变量与随机变量,理出它们之间的数量关系,写出目标函数表达式。只有这样才能建立正确的数学模型。叫做错的同学把自己的想法和正确的做法作对照,从而发现自己概念上的误区或者是公式的运用错误,认识到把实际问题转化为正确的数学模型的重要性。初学者只有反复的经过“犯错――纠正――再犯错――再纠正”的过程,才能真正掌握建立概率统计模型解决实际问题的方法。
  诚然,课堂上的时间是有限的,教学实例和手段也是有限的,课堂教学主要起到一个抛砖引玉和激发兴趣的作用。我们要启发大家在课下独立地去观察和思考实际生产生活中的问题和现象,让他们自觉的、有意识的运用概率统计的方法建立模型,并努力加以解决。
  当然,对于一个比较复杂的问题,同学们未必能够很完整地解决。但是在解决这个复杂问题的过程中,同学们所收获的东西却是让他们受益不尽的。比如,当他们碰到不理解的东西或觉得所学知识不够用的时候,就会自主地去学习相关知识,翻阅资料或者上网查询等等;而有时可能有了大概的解决思路,但是对中间的某一概率或统计问题不会求解,他们必然要去打开平时让他们很头疼的书本,从中找到解决的方法。这时,他们就会体会到概率统计这门课程,甚至是其他数学课程的妙用之处,在今后就会加倍努力地去学习。
  
  三、强调统计软件的应用
  
  对于统计中许多方法可以充分借助当前流行的各种统计软件,如excel,spss等等。在课堂上举一些来源于现实生活的实例,并现场用软件解决。有些时候我们可能会事先就把问题用软件解出来,然后直接用ppt向同学们展示运算结果。这样做可以提高课堂效率,但并不利于学生理解掌握全局的思路和整个操作过程,对于步骤比较少的问题可以这样做。但是对于综合性强一点的问题,我们最好把分析思路和运用软件操作的全过程向大家演示。鼓励学生们多上机,掌握一门有用的统计软件,让他们充分体会到概率统计理论结合软件运用之后的强大威力,在实际应用中如虎添翼,提升他们的学习兴趣和学以致用的迫切愿望。
  只要同学们感受到了概率统计这门课程有很强的实用性,就一定会学好的。多留问题给他们自己思考解决,那么他们的独立学习研究和应用知识的能力就能得到快速的提高。长此以往,他们在今后的工作中就会干得更出色,更加受益于这门课程。而作为引导者的我们,就真正起到了领路人的作用,教学效果事半功倍。
  
  参考文献:
  1.沈恒范.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2005
  2.姜启源等.数学模型[M].北京:高等教育出版社,2005
  3.杨荣,郑问瑞.概率论与数理统计[M]. 北京:清华大学出版社,2007


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