复数域上三维李代数的结构
作者 : 未知

  摘要:本文对于复数域上三维李代数的结构进行了分析,由于单李代数的分类已经很清楚了,所以本文主要针对的是非单李代数,主要利用的是同态和同构定理,最后的结论给出了复数域上三维李代数的所有情况.
  关键词:李代数;同态同构定理;复数域;三维代数
  
  由参考文献[1]和[3]知道任何一个单李代数(即没有非平凡理想的李代数)都会包含一个sl(2,C),所以单李代数只有一种情况:
  [e1,e2]=2e2,[e1,e3]=-2e3,[e2,e3]=e1
  下面要考虑的就是非单李代数的情况:
  定理:三维李代数G在同构的意义下只有以下五种:
  (1)[e1,e2]=0,[e1,e3]=0,[e2,e3]=0
  (2)[e1,e2]=0,[e1,e3]=e3,[e2,e3]=0
  (3)[e1,e2]=e3,[e1,e3]=0,[e2,e3]=0
  (4)[e1,e2]=e1,[e1,e3]=0,[e2,e3]=ke3,k≠0
  (5)[e1,e2]=e1,[e1,e3]=0,[e2,e3]=e1+e3
  证明:由于G是一个非单的李代数,故必有一个理想N,因此可以做出一个G的商空间G/N,并且定义?鬃为一个自然同态映射:
  ?鬃:G/N|m?鬃
  下面分情况对此进行讨论:
  1.N是一个一维理想
  由于G是三维的,因此必然有Im?鬃是二维的,由于文献[3]知道二维的李代数只有两种情况:
  [e1,e2]=e1或者[e1,e2]=0,因此|m?鬃只有两种情况:
  (i)|m?鬃是李代数[e1,e2]=0
  则存在G的一组基,使得e1,e2,e3,使得
  [e1,e2]=0+N,[e1,e3]=0+N,[e2,e3]=0+N
  即[e1,e2]=k1e3,[e1,e3]=k2e3,[e2,e3]=k3e3,k1,k2,k3∈C
  由于李代数需要满足Jacobi等式[[e1,e2],e3]+[[e2,e3],e1]+[[e3,e1],e2]=0,带入得到该式恒成立.
  通过简单的代换易见可以将k1,k2,k3中的非零的全部换为1,若三个都为0,则即为情况(1),若三个不全为1,我们就得到了五种不同的李代数结构:
  1.[e1,e2]=0,[e1,e3]=e3,[e2,e3]=0
  2.[e1,e2]=0,[e1,e3]=e3,[e2,e3]=e3
  3.[e1,e2]=e3,[e1,e3]=0,[e2,e3]=0
  4.[e1,e2]=e3,[e1,e3]=e3,[e2,e3]=0
  5.[e1,e2]=e3,[e1,e3]=e3,[e2,e3]=e3
  下面证明上面的五种在同构意义上实际上只有两种:
  1,2同构:取e1=e2,e2=e2,e2-e1,e3=e3即得二者同构
  1,4同构:取e1=e2,e2=e3+e1,e3=e3
  2,5同构:e1=e1,e2=e2-e3,e3=e3
  1,3不同构:如果二者同构,那么在3中必然有x,y使得[x,y]=x,假设x=λ1e1+λ2e2+λ3e3,y=μ1e1+μ2e2+μ3e3
  ?圯y=0,矛盾,因此二者不同构.
  (ii)|m?鬃是李代数[e1,e2]=e1
  同理可得[e1,e2]=e1+k1e3,[e1,e3]=k2e3,[e2,e3]=k3e3,k1,k2,k3∈C
  将此带入Jacobi等式得出k2=0
  ?圯[e1,e2]=e1+k1e3,[e1,e3]=0,[e2,e3]=k3e3,k1,k3∈C
  为了方便我们记作ade2e1=[e1e2]
  ?圯ade2(e1,e3)=(e1,e3)1 0k1 k3
  由于若当标准型只有两种1 00 k,1 10 1
  从而有两种李代数结构,
  [e1,e2]=e1,[e1,e3]=0,[e2,e3]=ke3,k≠0,[e1,e2]=e1,[e1,e3]=0,[e2,e3]=e1+e3
  最后我们要证明的就是这两种结构不同构,并且和上面的结构都不同构:
  4,5不同构:令e2=λ1e1+λ2e2+λ3e3得出
  ?圯ade2(e1,e3)=(e1,e3)λ11 0k1 k3
  所以e2无论怎么改变,其标准型不过只是多了一个常数因子(这是由于[e1,e3]=0得到的),这里如果λ2=0,那么后面必然可以通过改变e3,e1来保证线性相关性,这是合理的.所以若当标准型不会因为基的改变而改变,所以这两大类李代数,包括第一种不同的k的取值都是不同构的.
  4,5和前面几种李代数都是不同构的:
  我们发现4,5这两种李代数有一个共同的特点,那就是[e2,span(e3,e1)]的维数是二维的,而上面的李代数的基无论是怎么选取的,维数都是一维的,因此不可能同构
  因此同构.
  2.N是一个二维理想
  和上面的使用情况完全类似的方法分析可以知道,这种情况下的李代数都包含在上面的五种李代数之中的,因此命题得证.
  结论:复数域上三维李代数一共有六种:
  (1)[e1,e2]=0,[e1,e3]=0,[e2,e3]=0
  (2)[e1,e2]=0,[e1,e3]=e3,[e2,e3]=0
  (3)[e1,e2]=e3,[e1,e3]=0,[e2,e3]=0
  (4)[e1,e2]=e1,[e1,e3]=0,[e2,e3]=ke3,k≠0
  (5)[e1,e2]=e1,[e1,e3]=0,[e2,e3]=e1+e3
  (6)[e1,e2]=2e2,[e1,e3]=-2e3,[e2,e3]=e1
  并且前五种是非单李代数,最后一种是单李代数.
  参考文献:
  [1]苏育才,卢才辉,崔一敏.有限维半单李代数简明教程.北京:科学出版社,2008.
  [2]孟道骥,白承铭,李群.北京:科学出版社,2003.
  [3]James E.Humphreys. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. New York:Springer,1972.
  
   作者简介:宋庭武(1964―),男,安徽繁昌人,安徽师范大学数学计算机科学学院研究生。

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