基于优化非等时距权重傅里叶灰色模型的变形预测

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　　摘要：针对传统非等时距灰色模型对变形预测精度偏低问题，首先在传统非等时距灰色模型的基础上引入权重系数优化生成序列，然后利用傅里叶变换函数对残差进行修正，建立了权重优化-傅里叶变换函数残差修正的组合预测模型;最后以某下承式集散拱肋拱桥为背景，对其主梁变形进行预测。预测结果表明：该模型预测值总体平均相对误差为2.4%，高于传统非等时距灰色模型，预测精度为1级，为主梁变形预测提供了一种有效的技术手段。
　　关 键 词：变形预测; 灰色模型; 非等时距; 权重系数; 傅里叶变换; 残差修正
　　中图法分类号： TV698 文献标志码： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2019.01.037
　　在大跨度桥梁的施工过程中，为了达到设计的理想线形，需要对主梁线形产生偏差的因素进行跟踪控制[1-3]，并及时进行纠偏，常用方法有 Kalman 滤波法[4-5]和灰色理论等[6-11]。由于灰色预测具有原理简单[6]、算法简便[7-8]、样本数量要求低[9]、短期预测精度高[10]、可进行检验[11-12]等优点，因而在各个领域中得到了广泛应用。但在传统非等时距灰色模型预测的实际应用中，往往存在预测精度不高的情况。樊伟将灰色GM（1，1）预测模型与神经网络预测模型结合起来，用神经网络识别灰色GM（1，1）模型所得的预测值和实测值之间的未知关系，来修正灰色系统所得的预测值，进而提高预测精度[12];江安依据灰色模型的建模机理提出了一种不等时距序列的灰色预测模型背景值的新计算方法，并建立了新的不等时距序列的灰色预测模型，进而提高了预测精度[13];赵财军以辛普生求积公式为基础建立了新的灰微分方程，并对新的灰微分方程添加动态扰动项，以弥补灰微分方程与白化微分方程的差别，同时对初始值添加修正项，改进了GM（1，1）模型，提高了预测精度[14];胡华先利用“S”型函数对实测数据进行平滑处理，然后再用平滑后的数据建立非等时距GM（1，1）模型，并采用新的公式计算马尔科夫模拟值，从而提高预测精度[15]。江安和胡华等人都证实原始模型在直接预测的应用中存在误差较大、精度不高的问题，究其原因是传统非等时距GM（1，1）模型本身存在时距权重的分配并不是最优的问题。张东明和蒋忠信证实了赋予合理的时距权重可有效提高预测精度[16-17]。
　　本文首先在传统非等时距灰色模型的基础上引入权重系数优化非等时距生成序列;然后利用傅里叶变换函数对残差进行修正，形成权重优化—傅里叶变换函数残差修正的组合预测模型，最后以下承式集散拱肋拱桥主梁挠度变形为实例进行预测分析，从而对本文组合预测系统精度进行检验。
　　1 灰色模型在桥梁监控中的运用
　　灰色模型是通过少量的、不完全的信息建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述。灰色模型是从灰色系统中抽象出来的模型，灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系统。在桥梁施工监控工作中，虽然有些信息确定、数据完整，对应的是白色系统;但还有很多信息是部分确定、部分不确定或者是部分已知、部分未知，对应于典型的灰色系统，而桥梁施工过程中主梁线形变化情况便可以看作是一个灰色系统[18]。
　　设主梁线形变化的原始序列为
　　w （0） =[w （0） （t1），w （0） （t2），…，w （0） （tn）]（1）
　　设第k级与第k-1级的时间间距为Δtk，则非等间隔的时间间距为
　　Δtk=tk-t k-1 ≠const，k=1，2…，n（2）
　　对传统非等间隔灰色模型的原始数据作一次累加式为
　　w （1） （tk）=w （1） （t k-1 ）+w （0） （tk）Δtk，k=2，3，…，nw （0） （tk）=w （0） （tk），k=1（3）
　　依据文献[17]将非等间隔的时间间距增量Δtk的0.75赋在w （0） （tk）上，0.25赋在w （0） （t k-1 ）上得到的预测结果更优，精度更好。于是，重新调整非等间隔权值后，原始数据的一次累加式为
　　 w （1） （tk）=w （1） （t k-1 ）+0.25w （0） （t k-1 ）Δtk+0.75w （0） （tk）Δtk k=2，3，…，nw （1） （tk）=w （0） （tk） k=1（4）
　　通过式（4）对原始非等间隔序列进行一次累加（1-AGO）后生成的序列為
　　w （1） =[w （1） （t1），w （1） （t2），…，w （0） （tn）]（5）
　　然后，由一阶生成模块w （1） 建立灰色模型的微分方程为
　　dw （1）dt+aw （1） =u（6）
　　式中，a为发展系数，反映了数据的发展态势，取值范围为0 ～ 10;u为灰色作用量，反映了数据变化的关系。
　　该非等间隔序列微分方程的解为
　　w^ （1） （tk）= w （1） （t1）- uae -a（tk-t1） + ua（7） 　　因为w （1） （t1）、a及u均为定值，令g=w （1） （t1）- ua，則式（7）变为
　　w^ （1） （tk）=g[e -a（tk-t1） -1]+ w （1） （t1）（8）
　　按照式（4）进行累减还原，得到计算的预测值为
　　 w^ （0） （tk）= w^ （1） （tk）-w^ （1） （t k-1 ）-0.25w^ （0） （t k-1 ）Δtk0.75Δtk，k=2，3，…，nw^ （0） （tk）=w^ （1） （tk），k=1（9）
　　为了使期望预测值w^ （1） （tk）与原始值w （1） （tk）无限接近，根据累加生成的数据与预测值之间存在的关系，由此求解出方程组灰参数a和g[20]。将求解的灰参数平均值a^和g^代入（8）式得到优化非等间隔权重的灰色模型表达式为
　　w^ （1） （tk）=g^[e -a^（tk-t1） -1]+ w （1） （t1）（10）
　　由式（10）求得的序列经一次累减还原后，计算得到的初值数据预测值w^ （0） （tk）为
　　w^ （0） （tk）=g^（e -a^t k-e -a^t k-1）-0.25e -a^t1 w^ （0） （t k-1 ）Δtk0.75e -a^t1Δtkk=2，3，…，nw^ （0） （tk）=g^[e -a^（tk-t1） -1]+w （1） （t1），k=1（11）
　　于是，得到下个时段的挠度预测值为
　　w^ （0） （t k+1 ）= g^（e -a^t k+1-e -a^tk ）-0.25e -a^t1 w^ （0） （tk）Δt k+1 0.75e -a-t1Δt k+1k≥n（12）
　　2 傅里叶变换残差修正模型
　　由于残差序列具有随机波动变化的特性，本文运用傅里叶变换函数对优化权重后灰色GM（1，1）的预测残差进行修正，能够拟合出主梁变形数据列随机波动过程，从而提高预测精度。基于傅里叶变换构建的残差序列为
　　R（k）=w （0） （k）-w^ （0） （k），k=2，3，…，n（13）
　　其中， R（1）=0。
　　傅里叶变换残差表示为
　　R（k）= 12a0+∞i=1ancos 2πikT+bnsin 2πikT（14）
　　其中，k=2，3，…，n;取周期T=n-1。
　　an= 2T∫ 2/T -2/T R（k）cos 2πkT dk = 2T∫ 2/T -2/T[w （0） （k）-w^ （0） （k）]cos 2πkT dk （15）
　　bn= 2T∫ 2/T -2/T R（k）sin 2πkT dk = 2T∫ 2/T -2/T[w （0） （k）-w^ （0） （k）]sin 2πkT dk （16）
　　把R（1） = 0 代入式（14），得到：
　　a0=-2∞i=1ancos 2πikT+bnsin 2πikT（17）
　　将主梁变形实测值代入式（15）～（17），求得an、bn、a0，因此，最终得到傅里叶变换残差修正后的主梁变形预测值为
　　Wk=w^ （0） （k）+R^（k）（18）
　　式中，Wk为最终预测值，w^ （0） （k）为优化权重后灰色GM（1，1）预测值，R^ （0） （k）为随机误差。
　　3 精度检验
　　检验模型的合理性，一般常用的方法有后验差检验法、相对误差检验法和关联度检验法。本文采用后验差检验法对组合预测模型进行精度检验，判定模型是否合理。
　　残差序列 E 为
　　E=w （0） -w^ （0） =[ε（1），ε（2），…，ε（n）]（19）
　　式中，ε（k）=w （0） （k）-w^ （0） （k），k=1，2，…，n。
　　由原始序列w （0） 以及残差序列可以计算出方差S21、S22。根据所求出的方差可求出后验差检验的两个衡量指标，即后验差比C和小误差概率P：
　　C=S2/S1（20）
　　P=P{│ε（k）-ε│<0.674 5S1}（21）
　　GM（1，1）模型的精度由指标C、P共同划定，一般的模型级别取max{C的级别，P的级别}，精度参照表见表1。 　　4 工程实例
　　本文以潍坊渤海路下承式集散拱肋拱桥的主梁变形实测数据为依据，对权重优化—傅里叶变换函数残差修正的组合预测模型的可行性进行验证。桥梁全长527.86 m，主桥采用（30+100+30）m下承式集散拱肋拱桥。在施工过程中，因施工方支架数量不够，为节约成本和时间，决定提前将边跨支架拆除安装到后续的施工阶段。施工方施工顺序改变，没有严格遵循设计方确定的支架拆除时间安排，从而导致无法确定支架提前拆除后主梁线形的变化情况，而实际的数值模拟也很难准确计算出各阶段的主梁挠度变化值。因此，为了较为精确地掌握边跨支架拆除后主梁线形变化情况，建立权重优化—傅里叶变换函数残差修正的组合预测系统。首先在传统非等时距灰色模型的基础上引入权重系数优化非等时距生成序列，优化后的预测结果如表2所示;其次，利用傅里叶变换函数对引入权重优化后的灰色模型的残差进行修正，修正后得到的预测结果如表3所示，并采用后验差检验法对本文模型进行精度检验，结果如表4所示;最后，对本文模型预测结果与传统非等时距灰色模型预测结果进行对比，结果如表5所示。
　　由表4可知，本文预测模型后验差比C和小误差概率P两个指标均在1级模型精度范围内，精度等级检验为1级。由表5可知，本文预测模型的平均相对误差比传统非等时距预测模型的平均相对误差均低，总体平均相对误差降低了1.3%，说明本文预测结果更接近于实测值，预测精度更高。吊杆安装施工时（即第58 天），本文所提模型预测的主梁最大挠度值为4.24 mm，满足规范要求的5 mm[20]，能够达到实际工程的应用要求。另外，具有较高精度的模型也能对挠度实现准确的预判，可以减少不必要的施工投入，从而进一步合理安排下阶段的施工，具有重要的意义。
　　5 结 论
　　本文在传统非等时距灰色模型的基础上引入权重系数优化非等时距生成序列;然后利用傅里叶变换函数对残差进行修正，从而形成了权重优化-傅里叶变换函数残差修正的组合预测系统，并应用于下承式集散拱肋拱桥主梁变形预测。实例分析表明，该预测系统在施工过程中对主梁变形预测较为准确，总体平均相对误差为2.4%，比传统非等时距预测模型总体平均相对误差低1.3%，有效提高了预测精度，能够对施工提供指导。优化非等时距权重的傅里叶灰色模型的核心理论是灰色系统理论，对实测数据并无特殊要求和限制，同样适应于其它工程领域的变形预测。
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　　Optimization of non-equal interval weight Fourier grey model for deformation prediction
　　ZHOU Chunlin，WANG Youzhi，XU Gangnian，WANG Shimin，ZHANG Xue
　　（School of Civil Engineering， Shandong University，Ji′nan 250061，China）
　　Abstract：In order to solve the problem of low accuracy of traditional non-equal interval gray model， firstly the optimal generating sequence of weight coefficient was introduced to the traditional non-equal interval grey model， and then Fourier transform function was used to correct the residual error， so a combined prediction model of weight optimization-Fourier transform function residual correction was formed. Then the deformation of the main beam of a through-type arch bridge with distributed arch-ribs was predicted. The prediction results showed that the overall average relative error of the prediction value was 2.4%， which was better than that of the traditional non-equal interval grey model， and the prediction accuracy was grade 1. The establishment and application of the new model provide an effective technical means for the deformation prediction of main beams.
　　Key words： deformation prediction; grey model; non-equal interval; weight coefficient; Fourier transform; residual error correction
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