基于傅里叶定律的高温服装设计中热传递模型的研究
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摘 要：本文通过建立数学模型对三层织物材料组成的高温作业专用服装的设计问题进行研究。运用Fourier transform算法求解偏微分方程从而建立热传导模型，并利用实验数据拟合得到温度的分布图像与函数，得到最后的热传导模型公式。通过求解该模型的数值解，与实验数据进行对比，进行模型检验。
关键词：热传递 高温作业专用服装 Fourier transform 数值拟合
中图分类号：O242 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）11（c）-0111-02
当人们处于高温环境下，人体的皮肤会受到一定程度的烧伤，因此，人们需要穿着一种专业服装，在环境与人体之间充当一种隔绝层进而对人体皮肤进行保护。人们对其经济实用性以及舒适性等都有了新的要求因此也进行了相关的研究。本文运用Fourier transform算法求解偏微分方程建立了热传导模型，并通过实验数据有效验证了模型的正确性，为今后人们研究更加高效经济的高温作业热防护服奠定一定的基础。本文的研究背景以及研究數据均来源与大学生数学建模竞赛2018年B题。
1 问题提出
已知专用服装材料的某些参数值例如密度、比热、热传导率和厚度的值等。我们需要根据实验所得数据建立数学模型，并计算温度分布。根据传热学与工程热力学的相关知识可知，热传递主要分为三种基本方式即热传导、热辐射和热对流，为了方便计算，我们暂时忽略以上因素对热传递所造成的影响，主要考虑三大主因素的影响，从而根据傅里叶定律建立起热传导模型;得到温度分布函数，进而用理论的温度分布函数与所得到的温度分布函数进行对比并检验。
2 符号定义
本文中令q为热对流（辐射）密度;k为热传导系数;σ为斯蒂芬-波尔滋蔓常数;β为辐射吸收常数;FL为向左辐射通量;FR为向右辐射通量;ε1为Ⅰ层左侧的辐射量;h为服装层或空隙层的厚度;ωf为纤维内水蒸气浓度。
3 热传递模型的建立与求解
3.1 模型建立
⑴在垂直于热量传导的方向上每个面的温度都相同，我们称之为等温面;把环境到皮肤最外层表面的距离x分为n个小段，记为、、……、;每相邻的之间的温度差，记为（）;所以温度梯度表示为。
⑵在考虑热辐射的情况下，该服装中的辐射能量即为热能，记为在只考虑一维热传导的情况下，x点处向左辐射的总热辐射量，并记热流密度为q，由能量守恒得：。若在不考虑右热辐射所传递的热能的情况下，则在点x处的净热能量为：，其中β为辐射吸收常数即单位面积下该服装的吸收能力。
综合以上内容的分析，得出问题一的模型：
（1）
其中：
3.2 模型求解
其中（1）看成两个一阶线性微分方程，它们的边界条件为：
解得：
所以方程（1）进一步写为：
（2）
为解方程（3.2），我们需用到傅里叶积分变换，方程（2）变化为：
（3）
因此，方程（3）可看成一个含参量ω的一阶线性非齐次常微分方程的初值问题，再利用常数变异法，再对取傅里叶逆变换，根据傅里叶变换卷积性质得：
令：
得到： （4）
其中分别表示Ⅰ层、II层、III层、IV层的温度关于时间t、厚度x的二元函数并且。
4 结果分析
图1是用MATLAB软件根据模型一的数值解模拟出来的三维图像，反映了时间、温度与厚度的关系。图2反映了模型一的数值解以及附件2所给数据的对比情况，其中1线表示附件2的数据，2线表示模型一的数值解;从图2中我们可以看出模型一的数值解与实际数据在前期接近程度较高，但随着时间的推移，偏移量逐渐增加，因为在模型一中没有对织物材料结构参数中孔隙率、孔半径等、热湿传递以及物理参数如水汽扩散等因素的影响，随着时间的推移，温度在不断升高，而在高温状态下，以上因素对温度降低的影响较大，因此，随着温度的升高，利用模型一算出的温度将会比实际温度偏低。
参考文献
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