第一个重要极限的推广及应用探析

来源:用户上传      作者:杨家平

　　摘 要：limx→0sinxx=1在高等数学极限知识点中是重要知识点之一，依此主要介绍第一个重要极限的推广，并且简单介绍在极限计算、微分学、常数项级数等中的应用。
　　关键词：第一个重要极限;极限推广;极限应用
　　limx→0sinxx=1第一个重要极限在极限中是相当重要的，是可以作为结论来直接计算极限，此公式要是运用得当，将可以简化极限计算。对于公式的证明各版本教材中主要利用夹逼定理、拉格朗日中值定理等知识证明过，在此我就不证明了，因为对于高职学生或者在专升本中，还是应用第一重要极限解决实际问题的比较多。
　　1 第一重要极限的推广
　　推广1：limx→0sinxx=1这是第一个重要极限的最原始表达形式，如果所有的极限计算中都出现这样最原始的表达式，那是不可能的，我们要思考看变形的情况下也能运用公式，他的本质其实是个00形式极限未定式，我们把x不仅看成一个变量，可以把x看作统一符号，其他的变量也可以看成一个代数式的表达形式，只要保证形式不变，即可以写成limx→0sinxx=1，对于整个变形有两点注意：①三个统一，即三个方框里面的表达式都有趋向于无穷小“0”;②保证分式中分子与分母方框中的表达式一致，若表达式不一致，则不能直接运用，因为趋向于0的速度可能不一样。
　　推广2：limx→sinα（x）α（x）=1，即自变量变化过程不管是趋向有限值还是无限值，但是保证分子分母是00未定式，此时等式也成立，例如，limx→∞sin1x1x=1。注意limx→∞sinxx≠1
　　推广3：①设limx→x0u（x）=0，limx→x0v（x）=limx→x0u（x）limx→x0h（x），且limx→x0h（x）=a，则，limx→x0[sinu（x）u（x）]=1a。②limx→0sinx1+sinx2+…sinxnx1+x2+…xn=1，（i=1，2…n）
　　2 第一重要極限的应用
　　2.1 证明半径为R圆的面积公式
　　从知识传授说，可以进一步检验学生对古代割圆术分析问题、利用第一重要极限简化函数运算的掌握程度。同时从数学史的角度开展课程思政，激发学生的爱国热情，尤其在今年新型冠状病毒肆虐发展时，我们需要激发学生的爱国热情，坚定祖国一定能战胜病毒的信心。
　　2.2 求极限中的应用
　　（1）在一元函数中的计算应用非常广泛，因为是比较好的一种快速求极限的方式，下面我举例说明两种典型例题：
　　例1 求limx→2sin（x2-4）x-2极限
　　解：当x→2时，（x2-4）→0，limx→2sin（x2-4）x-2=limx→2（x+2）×limx2-4→0sin（x2-4）x2-4=4×1=4
　　例2 求limx→0sin3xx的极限
　　解：limx→0sin3xx=limx→03×sin3x3x=3limx→0sin3x3x=3×1=3
　　（2）在多元函数中计算函数的极限，多元函数相对比较复杂，但是其本质也还是利用极限定义，本文主要举例说明在二元函数中的计算极限
　　例3 求lim（x，y）→（3，0）sin（xy）y极限
　　解：设xy=v，则（x，y）以任何方式趋向于（3，0），有v→0，所以lim（x，y）→（3，0）sin（xy）y=lim（x，y）→（3，0）x×sin（xy）xy，lim（x，y）→（3，0）sin（xy）xy=limv→0sinvv=1，lim（x，y）→（3，0）x=3，lim（x，y）→（3，0）x×sin（xy）xy=lim（x，y）→（3，0）x×lim（x，y）→（3，0）sin（xy）xy=3×1=3
　　在运用第一重要极限计算极限时，需要观察所给的式子中一般有没有含有三角函数的表达式，没有的话，一般首先不采用第一重要极限的方式来计算。
　　2.3 在微分学中的应用
　　有些导数公式可以使用第一个重要极限进行推导，导数的定义主要是将函数变化率的描述，其本质是因变量增量与自变量增量之比ΔyΔx的极限值。在导数计算中，每次都用这个比值的极限来算导数，相对有点麻烦，所以我们对一些基本函数可以推导出公式。
　　例4 设函数f（x）=cosx，证明导数公式（cosx）′=-sinx
　　证明 根据导数的定义，f′（x）=limΔx→0f（x+Δx）Δx=limΔx→0cos（x+Δx）-cosxΔx，观察式子，我们可以利用三角函数关系式之和差化积公式得到：limΔx→0cos（x+Δx）-cosxΔx=-limΔx→01Δx2sin（x+Δx2）sinΔx2=-limΔx→0sin（x+Δx2）sinΔx2Δx2=-limΔx→0sin（x+Δx2）×limΔx→0sinΔx2Δx2=-sinx。即f′（x）=-sinx，等式左边等于等式右边，原式得证。同理可证：（sinx）′=cosx
　　2.4 在常数项级数中的应用
　　例5 判断级数∑∞nsin1n的收敛性
　　解：因为limn→∞sin1n1n=1>0，而级数∑∞n=11n是发散的，根据比较审敛法的极限形式定理，得到∑∞n=1sin1n是发散的，此题是恰当的选取一个已知其收敛性的级数典型例题。
　　3 结论
　　本文主要给出了第一个重要极限的几种推广形式，当然第一个重要极限的推广形式及其应用不仅就这几个方面，我们应该需要继续探索更多的实际应用，解决实际生活问题，学有所用。
　　参考文献
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