基于演化计算的证券投资组合研究

来源:用户上传      作者: 李渝萍

　　摘　要：演化算法作为一种高效并行的全局优化算法，已经广泛应用于各个领域。演化算法的有效性同样也在投资组合优化中得到验证。郭涛算法是一种新的演化算法。基于对Markowitz模型的投资组合优化问题进行求解的结果表明，郭涛算法要比传统的演化算法能够求得更好的结果。
　　关键词：投资组合；Markowitz模型；演化算法；郭涛算法
　　中图分类号：F830.91　文献标识码：A　文章编号：1005－0892(2007)08－0059－03
　　
　　一、引言
　　
　　为了避免或分散较大风险，投资者可以按不同比例对多种证券进行有机组合(威廉．夏普，2001)证券投资组合研究是一种基于收益和风险相匹配的投资组合管理，是在各种不确定的条件下，将不同的证券进行优化组合分配，以寻求收益和风险相匹配的最适当、最满意的资产组合的系统方法。现代组合理论最早由美国著名的经济学家Markowitz于1952年提出，他在《资产组合的选择》一文中提出了确定最小方差资产组合集合的思想和方法，开创了对投资进行整体管理的先河，Markowitz模型因此成为最重要的投资工具。但是，Markowitz模型涉及计算所有资产的协方差矩阵，面对成百上千可选择的资产，其计算量相当繁杂。1963年，William Sharpe根据Markowitz模型建立了单一指数模型。与Markowitz模型相比，单一指数模型计算的精度有所降低，但大大简化了模型的计算量，有利于管理者以及投资者对证券市场整体进行实时分析和研究。
　　近年来，许多专家学者运用演化算法对投资组合优化问题进行了分析和研究(张伟、周群、孙德宝，2001)。演化计算是一种高效的智能的计算方法，它采用达尔文“优胜劣汰”的进化思想，具有“组织”、“自适应”和“自学习”的特性(潘正君等，1998)。但是，他们采用的都是传统的演化计算方法。传统的演化计算方法(如牛顿法，共轭梯度法等)因为都是局部极值算法，且它们对目标函数要求很高，算法比较复杂，收敛较慢，因此求得全局解的概率较低。显然，传统的演化计算方法无法满足实际需要。
　　随着生命科学与工程科学的相互交叉、渗透和促进，形成了一种用机器模拟自然过程来求解复杂问题的随机搜索算法――演化算法。其本质是一种高效、并行的全局优化搜索算法，它能在搜索过程中自动获得和积累有关搜索方面的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最优解。因此，相比传统的演化计算方法，它具有更高效、更智能的特点。郭涛算法就是这样一种高效的多父体杂交演化算法。
　　本文试采用一种新的郭涛算法来求解投资组合优化问题(郭涛等，1999)，以验证采用郭涛算法相比传统的演化算法求解可获得更好的投资组合。
　　
　　二、Markowitz模型
　　
　　Markowitz提出的著名的组合证券投资模型如下：设投资者选择m种风险证券作为投资对象、第i种证券的收益率为ri、方差为σi2、证券i与证券j间的协方差为σij、投资者投向第i种证券的投资比例系数为。xi(i，j=1，2，…m)、组合证券风险为σ2，则Markowitz组合证券投资优化模型为：
　　
　　其中，r0是供投资决策者选择的证券组合预期收益率。此时需要注意的是，Markowitz模型是需要在一定的假设条件下进行讨论的。
　　Markowitz的假设为：
　　(1)所有的投资者都是理性的投资者，他们服从不满足假设和回避风险假设，并以期望收益和方差(或标准差)来评价证券及其组合。
　　(2)股票份额可以无限分割，投资者可以购买1股甚至0.5股。
　　(3)存在无风险利率，并对每个投资者来说，风险利率都是相同的。
　　(4)投资者在证券交易过程中没有交易成本。
　　(5)投资者对股票的种类没有区分。
　　
　　 三、郭涛算法
　　
　　郭涛博士提出了一种简单易行、实际运行效率非常高的演化算法，其数值实验表明对许多典型的复杂优化问题，均能得到迄今为止最好的结果。很多研究者利用此算法及并行策略求解了大规模的带不等式约束的非线性优化问题，得到了非常满意的结果(吴志健等，2003)。郭涛算法的核心算子是一种非凸组合的多父体杂交(Multi-Parent Crossovcr)算子。多父体杂交技术近年来常被应用于解函数优化问题的演化算法中；基于多样性和选择压力，用禁忌约束来筛选所选择的多个父体。
　　我们考虑下述不等式函数的最优化问题：
　　 其中，D={x∈s；gk(x)≤0，k=1，2，…，g}。s∈R2称为搜索空间，通常为n维立方体，即li≤xi≤ui,i=1,2…n。f:S→R称为目标函数。n是变量空间的维数，D称为可行点集或可行区域。
　　
　　对于两个个体x1和X2，如果better(X1,X2为真，则表示X1好于X2；否则，X1不比X2好。
　　我们先来叙述一下郭涛算法。
　　第1步：在搜索空间s中随机产生初始群体P(O)={X1，X2，…XN(通常要求它们均匀地分布在搜索空间中)，t=0：
　　第2步：将群体p(t)中的最好个体记为Xbest，最差个体记为Xworst；
　　第3步：当better(XworstXbest)为真时转第5步；α≤1.5。在子空间y中随机选取一个新的个体X。若；
　　
　　第5步：输出最好解Xbest，结束。 在上述算法中，起主要作用的是多父体杂交算子。和一般的演化算法相比，它具有以下特点：
　　(1)只有杂交算子，没有变异算子。
　　(2)杂交算子采用多父体杂交。由于参数αi不局限于区间[0，1]，而采用的是非凸线性组合，这样可以保证产生新的个体可以覆盖包括边界的整个解空间。可以说，这样的杂交算子包含了变异的功能。
　　(3)采用的是实数编码。目前在解决数值优化问题时，大都采用实数编码技术。已有大量实验表明，采用实数编码的演化算法的效率要好得多。
　　(4)类似于u+λ选择的全局淘汰策略，即每次迭代都只淘汰最差的个体。在这种情况下，种群的选择压

力很小，这不仅可以保证种群的多样性，而且使得适应值高的个体能在种群中存活更长的时间。
　　(5)这种群体爬山策略能够使种群同时向多个极值点逼近。对于多峰优化问题，如果参数选择适当，可以一次找到多个解。
　　(6)在算法中，不是简单地用一个适应值函数来评价个体的好坏，而是通过一个逻辑函数来比较个体的优劣。对于两个个体，视违反约束的程度和函数值的大小来决定它们的优劣。具体判断方法为：用函数H(X)来衡量违反约束的程度，函数H(X)值大的视为坏个体；在违反约束程度相同时，再根据目标函数朋来决定它们的优劣。
　　
　　 四、郭涛算法在投资组合优化中的应用
　　
　　本文选择了不同行业、不同流通盘、不同地区有代表性的9种股票证券进行组合，计算收益率和收益率的协方差如表1所示。
　　
　　计算出预期投资组合收益率r0=17％。
　　
　　五、传统遗传算法与多父体杂交算法比较
　　
　　把郭涛算法和传统遗传算法的结果进行比较，其运行结果如表2所示。
　　
　　在运行结果表中，我们发现郭涛算法运行速度非常快，程序运行50次，每次的运行代数为1000，运行时间平均只需要0.92s。此外，采用郭涛算法得到的最小风险和平均风险分别为0.02266和0.02297，这比用传统的遗传算法得到的结果分别降低了45.85％和46.48％。可见郭涛算法运算效率非常高，能大大提高问题的求解精度，值得在投资组合优化和经济领域其它优化问题中广泛运用。
　　
　　六、结论和展望
　　
　　近年来蓬勃发展起来的演化算法被广泛应用于优化领域，其全局最优性、可并行性和高效性在函数优化中得到了广泛的应用。演化算法克服了传统数值方法的缺点，借助了大自然的演化过程，是多线索而非单线索的全局优化方法；同时，它采用的是种群和随机搜索的机制。演化算法在优化领域中的应用引起了人们的普遍关注，各种形式的演化算法层出不穷。
　　本文采用的是一种新的演化算法――郭涛算法，以求解投资组合优化问题。其数值检验结果表明，采用多父体杂交算法效率高，而且能获得更优的投资组合。
　　在今后的工作中，还有以下几个方面的问题有待进一步的研究。
　　(1)进一步对投资组合模型进行研究，使模型更加符合实际情况，这样才能精确地指导投资者进行投资决策。
　　(2)演化计算领域中已经出现了一些高效的算法(比如“粒子群算法”)，很多文章已经验证了粒子群算法具有比一般算法更优的特性，我们下一步可考虑用粒子群算法来求解投资组合优化问题。
　　(3)投资组合优化问题不仅仅是一个单目标优化问题，很多时候是一个多目标优化问题。如果考虑摩擦因素，那么Markowitz模型就会被推广为具有摩擦的风险市场模型，也就是在Markowitz模型中加入了交易费用、税收等因素，这样的模型能更贴近现实的风险市场，能更有效地指导投资者在风险市场中作出投资决策。目前很多研究者都是采用权重的方法把投资组合优化的多目标问题转化为单目标问题来求解，这样求解的结果虽然可能是最优解，但并不是完备的最优解集。下一步的工作就是采用高效的多目标演化算法来有效地求解投资组合模型中的多目标优化问题。
　　
　　作者简介：李渝萍，广东金融学院工商管理系副教授，主要研究方向为金融统计。
　　
　　责任编校：晓　蔚

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