用蚁群算法求解带交易成本的投资组合模型

来源:用户上传      作者: 王 婧 刘传哲 熊美懿

　　[摘要] 证券投资组合优化问题的实质就是有限的资产在具有不同风险收益特征的证券之间的优化配置问题。本文在经典马科维茨投资组合的均值-方差模型框架下,将蚁群算法引入模型求解,提出考虑交易成本的股票投资组合模型。实证结果表明,蚁群算法是一种解决股票投资组合优化问题的有效算法,不同的参数设置对算法运行结果有显著影响。
　　[关键词] 投资组合交易成本蚁群算法
　　
　　一、引言
　　
　　由Markowitz(1952)提出的均值-方差(MV)模型在投资组合理论中占有重要的地位, 是投资分析中的一种有效的工具。Markowotz分别用期望收益率和收益率的方差来衡量投资的预期收益水平和不确定性(即风险),建立了均值-方差投资决策模型。随后, Markowitz(1959),Mao (1970)讨论了均值-下半方差模型,在收益分布对称的情况下,下半方差刚好是方差的一半,但均值-下半方差有效前沿与均值-方差模型有效前沿完全一致;Konno(1991)研究了用均值绝对偏差来衡量投资组合的风险,提出了均值-绝对偏差模型(MAD模型),简化了投资组合优化的运算;Konno和Suzuki (1995)研究了均值-方差-偏度模型,基于收益不对称分布的情况,是对MV模型的补充。这些研究使得投资组合模型越来越接近实际,但也越来越难于用传统的数学规划方法进行有效地求解模,许多学者把目光转向应用仿生算法求解投资组合模型,解决模型的实际应用问题。
　　蚁群算法作为近年来一种新兴的仿生算法,具有较强鲁棒性、优良的分布式计算机制、易于与其他方法相结合的优点,被成功用来解决如TSP、武器-目标分配问题、频率分配问题、电力系统故障诊断等问题。近年来也有学者将蚁群算法应用于证券投资组合问题的研究,孙永征,刘亮(2008)将混合行为蚁群算法应用到股票市场投资者行为研究中去,建立了基于混合行为蚁群算法的股票市场投资行为演化模型,研究投资者的五种行为对股票价格及市场稳定性的影响。研究表明,不同投资行为与股票价格及市场稳性之间存在复杂的关系。谢燕兰(2008)利用经典MV模型和股票技术分析中成交量、收益率等指标,以银行作为投资避险的工具,构建了一个针对国内股票市场的证券组合投资优化模型。然而,这些研究成果没有考虑到股票投资过程中必然存在交易成本因素,从而降低了模型的实际应用价值。假设交易成本是线性函数,本文提出考虑交易成本的股票投资组合模型,利用蚁群算法求解所建模型,并且讨论了模型参数的设置对投资回报的影响。
　　
　　二、蚁群算法下的投资组合模型
　　
　　1.经典的MV投资组合模型
　　根据投资者均为理性经济人的假设,Markowitz理论认为投资者在证券投资过程中总是力求在风险一定的条件下,获得最大的收益;或者在收益一定的条件下,将风险降到最小。则Markowitz模型可表示为以下两种单目标的模型:
　　 (1)
　　其中,n为持有资产的数量,xi代表每种资产的持有比例,ri(i=1,…,n)为每种资产的期望收益率,σij表示资产i和资产j(i=1,…,n;j=1,…,n)的协方差。
　　2.基于蚁群算法的证券投资组合模型
　　蚁群算法(ants colony algorithm)是由Dorigo等于1990年为了解决组合优化问题而提出的一种模拟蚁群觅食行为新型进化算法。概括而言,就是将蚁群的觅食行为视为一个复杂的路径优化问题。算法的主要机理可从两个方面来描述:(1)集体性,算法寻优过程是一种带有信息交换的并行过程,具有全局搜索的能力;(2)路径的适值标准,当蚂蚁在从巢穴去食物源(或者从食物源返回巢穴)时,会在走过的路上留下一种化学物质(pheromone),被称为信息素,这种信息素的强弱与它们所走的路的长度成反比。蚂蚁根据信息素的强弱以一定的概率来进行路径选择,形成了正反馈搜索过程。以上特征使得蚁群算法成为求解组合优化问题的一种简单、高效的手段。
　　在证券投资组合模型中,股票投资收益率相当于蚂蚁运动过程中留下的信息素,为了避免算法运算时间过长陷入停滞,Dorigo在蚁群模型中引入了启发函数加速模型的收敛,对应于证券投资组合模型,启发函数相当于投资组合的风险,算法运行的结果是使得组合实现最小风险下的最大收益。具体如下:
　　(1)转移概率的计算
　　转移概率直接关系到蚁群算法的寻优效率和执行结果,由下式得出,在证券投资组合模型中,蚁群通过对风险和收益的均衡确定转移概率:
　　 (2)
　　其中,信息素τi(t)按照如下规则更新:
　　 (3)
　　 (4)
　　 (5)
　　其中,为信息素的变化量,ri为第i个证券的收益率,α、β是模型参数分别反映了蚂蚁在运动过程中所积累的信息和启发信息在蚂蚁选择路径中的相对重要性,ρ是信息素的挥发系数,通常情况下设置ρ<1来避免路径上信息量无限累加。
　　(2)启发函数的定义
　　启发函数用来加速算法收敛,并且避免算法陷入局部最优,本文采用单只股票的标准差衡量其风险,从而构造启发函数,如下:
　　ηi=1/ρi (6)
　　(3)交易成本
　　交易成本是股票投资的一个重要问题,大多数情况下,投资者都是从已持有的投资组合开始,确定如何在股票市场上进行调整。股票投资仓位的调整必然需要交易费用,交易费用通常是新旧股票组合之差的V型函数:
　　 (7)
　　其中,ci(t)表示第i只股票第t期的交易费用;
　　ki≥0,i=1,2,…,n,表示第i只股票的交易费率;
　　,Mi(t)表示第i只股票第t期投资额,假设初始投资金额M(0)=100万,各股票初始仓位Mi(0)=25万。
　　则n只股票第t期总交易费用为:
　　 (8)
　　(4)投资回收总额
　　个股仓位根据上述转移概率公式(2)结果进行仓位调整,第i只股票在第t期末的投资回报为:
　　Mi(t)=M(t-1)×xi(t)×[ri(t)+1]-ci (9)
　　总的投资回收额:
　　 (10)
　　
　　三、蚁群算法基本流程
　　
　　设有n只股票m名投资者,股票的收益率为ri为第i个证券的收益率,τi(t)为股票i上的信息素,并设置每只股票的初始信息素。
　　步骤1:参数初始化。令时间t=0和循环次数NC=0,设置最大循环次数NCmax,将m个蚂蚁置于n个元素(股票)上,初始化,令τij=const,(0)=0,其中cinst是常数;
　　步骤2:设置循环次数NC←NC+1;
　　步骤3:蚂蚁数目K←K+1;
　　步骤4:将各蚂蚁的初始出发点置于当前解集中;对每个蚂蚁k(k=1,2,…,m),按概率状态转移Pkij公式(2)移至下一个元素(股票)j;
　　步骤5:若元素未遍历完,即k

　　图1～2选取了三组六个具有代表性的算法寻优结果,可以观察到本文模型较谢燕兰模型(212.6万元)获得了更好的投资回报,三个参数α,β,ρ的设置对算法最终寻优结果有着不同的影响。其中α对投资组合回报影响较为显著,随着α的增大投资回报显著增加,α=3时投资回报为356.67万元,而当α=0.7时,投资收益仅为259.8万元,也就是说当投资者在第一天在某只股票的投资获得较高的收益时,第二天继续增加此只股票投资仓位;β和ρ的变化对投资回报的影响显著性不强,α和ρ不变,当β=0.3时投资回报为271.56万元,β=3.5时投资回报为279.27万元,这是由于国内A股市场交易规则中涨跌停板的限制在一定程度上控制了股票投资的风险,而投资时间间隔越长,对当前投资组合的影响越不明显,这和股票投资技术分析的结论一致。
　　
　　五、结论
　　
　　本文利用基本蚁群算法对投资组合模型进行了优化,主要提出了考虑交易成本的股票投资组合模型并对其进行了有效求解,与此同时讨论了模型参数变化对算法寻优结果的影响。实证结果表明蚁群算法能够在有限的资源条件下,求解传统的数学方法难以解决的投资组合问题,并且具有整体优化,高效迅速的优势,具有广阔的应用前景。
　　
　　参考文献:
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