基于马尔可夫链的股价预测
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作者: 赵颖洁 王建国 杜永光
[摘要] 在企业的生产、经营、管理、决策等工作中，经常会遇到这样的情况：事物未来的发展及演变状态仅仅受事物现状的影响，而与过去的状态无关，也就是具有马尔可夫性。本文运用马尔科夫理论预测股票价格，建立其随机过程模型，使决策的长期效益趋于最优，通过实例检验，证明了此模型的可行性和实用性。运用马尔可夫过程理论，对未来股价走势和股指未来的突破方向进行了研究，对其他预测方法作了有益的补充。
[关键词] 马尔科夫链 转移概率 股票价格
一、马尔科夫过程的概述
定义1设随机序列{X(n),n=0,1,2,…}的离散状态空间为E0，若对于任意m个非负整数n1,n2,…,nm(0≤n1＜n2＜…＜nm)和任意自然数k，以及任意i1,i2,…im，j∈E满足
(1)
则称X(n),n=0,1,2…}为马尔科夫链。
在(1)式中，如果nm表示现在时刻，n1,n2,…,nm-1表示过去时刻， nm+k表示将来时刻，那么此式表明过程在将来nm+k时刻处于状态j仅依赖于现在nm时刻的状态im，而与过去m-1个时刻n1,n2,…,nm-1所处的状态无关。(1)式给出了无后效性的表达式。
定义2 k≥1称之为马尔科夫链在n时刻的k步转移概率，记为 pij(n,n+k)。
转移概率表示已知n时刻处于状态i,经k个单位后过程处于状态j的概率.转移概率pij(n,n+k)是不依赖于n的马尔科夫链，称为时齐马尔科夫链。这种状态只与转移出发状态i、转移步数k及转移到达状态j有关,而与n无关。此时,k步转移概率可记为pij(k),即
当k=1时pij(1)称为一步转移概率，简记为Pij。所有一步转移概率pij组成的矩阵p1=(pij)称为它在时刻m的一步转移矩阵(i,j∈E)。所有n步转移概率pij(n)。组成的矩阵Pn=(pij(n))称为马尔科夫链的n步转移概率矩阵，其中:。设{Xn,n∈T}为齐次马尔科夫链，则
pn=p1p1(n-1)=p1n(n≥1)(2)
二、运用马尔科夫链预测股票价格的步骤
运用马尔科夫链预测股票价格的步骤：
第一步，马尔科夫模型的建立；
第二步，构造股票价格变化的分布状态；
第三步，检验马尔科夫性。
1.马尔科夫模型的建立
利用股市的历史资料，统计得出连续两个时间段内，前一时间段股价处于i区，后一时间段股价处于j区的概率pij(i,j∈E)，构造一步转移概率矩阵p1=(pij)。其中且
由(2)式知，k步转移概率矩阵pk为：
pk=p1k（3）
记概率向量p(t)=(p1(t),p2(t),…,pn(t))T为第t个时间段股价的绝对概率向量，其中pi(t)表示第t个时间段股价处于第i(i∈E) 区的绝对概率，根据(3)式知，股价第t+k个时段(k∈T)的绝对概率向量
（4）
若给定初始概率向量则由上式可知t个时间段后的股价预测的马尔科夫过程模型为:
（5）
因此，可在已知初始概率向量的情况下，对于任意时间段后股价所处的区间的概率分布做出预测。
2.运用马尔科夫链预测乐山电力的价格变化趋势
将这24个收盘价格划分为4个区间（由低到高每区间1.0个价格单位），得到区间状态为:i(10.5以下），j(10.5～11.5），k（11.5～12.5）,ι(12.5以上），由以上资料得到这24个交易日的收盘价格状态转移情况如下表:
由 可计算出各状态之间的转移概率矩阵:
由表1知，第24个交易日的收盘价为10.85 (即为j状态区间），所以用马尔科夫链进行预测时初始概率向量为:p(0)=(0,1,0,0)，由(3)式可计算出第24个交易日以后各天的股价。
由(3)式可得p(2),p(3)…p(n)。由p(1)可知第25个交易日的收盘价处于j状态区间的概率最大，这与实际情况11.01一致。
3.马尔科夫性的检验
用Nij表示在(X1,X2，…Xn)中从状态i经过一步转移到状态j的频数，并将(Nij)n×n的第j列之和除以各行各列的总和所得到的值记为p・j，即
且
则当n较大时，统计量服从自由度为(n-1)2的x2分布。选定了置信度α，查表得若则可以认为Xt符合马尔科夫性，否则认为该过程不是马尔科夫链。
经检验，发现此过程确实符合马尔科夫性。因此，针对我国股市受较多不规范因素的影响而表现出的随机性，我们可以将马尔科夫链引入上述方面，探讨更加符合证券市场实际的投资策略。
三、结束语
本文用马尔科夫链建立股票价格的数学模型，并用此模型预测了股票价格的波动情况，通过与实际资料对比发现，预测结果与之基本一致。由于马尔科夫链有“无后效性”，所以在股票市场有效的条件下，比较客观地刻画股票价格的变化规律，从而达到相对准确地预测股票价格的目的。希望能使投资者通过对本文的了解避免盲目和不理性的投资行为，采取科学的投资策略。
参考文献:
[1]李子奈潘文卿:计量经济学[M].高等教育出版社，2005
[2]冯文权茅奇周毓萍:经济预测与决策技术[M].武汉大学出版社，2005
[3]汪荣鑫:随机过程[M].西安交通大学出版社，2006
[4]S M Ross.Stochastic Process[M].New York:John Wiley &Sons,Inc.,1991
[5]数据来源:大智慧股票分析软件
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