利用再生散度模型的性质求数学期望和方差
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摘 要：再生散度模型是一个分布族，它包括许多常见的分布，比如：正态分布、二项分布、Poisson分布、Gamma分布和逆Gauss分布等。关于再生散度模型的概率密度函数的积分的求导性质，文献中已有研究。在一些适当的正则条件下，对于再生散度模型的概率密度函数的积分，关于其参数的求导运算可以通过积分号来进行。该文主要研究利用这个性质，来求随机变量的数学期望和方差。最后通过实例说明了这种方法是有效的并且比传统方法更简单。
关键词：再生散度模型 数学期望 方差 随机变量
中图分类号：O211 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）11（b）-0194-02
Abstract： Reproductive dispersion models are a family of distributions， which include many common distributions such as normal， binomial， Poisson， Gamma， inverse Gauss， and so on. The derivative property of integral of probability density function of reproductive dispersion models has been studied in literature. Under some appropriate regular conditions，the derivatives of integrals with respect to probability density function of the reproductive dispersion models can be computed under the integral sign.This paper mainly studies that the mathematical expectation and variance of some random variables can be obtained by using this property. Finally， an example shows that this method is effective and simpler than the traditional method.
Key Words： Reproductive dispersion models; Mathematical expectation; Variance; Random variables
求隨机变量的数学期望和方差是概率论课程的重要内容。关于数学期望和方差的计算，教材中的方法是根据他们定义来求，这种方法有时比较繁琐[1]。该文研究利用再生散度模型的概率密度函数的积分性质，来求随机变量的数学期望和方差。其方法比教材中的方法要简单。
再生散度模型（reproductive dispersion models）是一类重要的统计分布族，它包括正态分布、二项分布、Poisson分布、Gamma分布和逆Gauss分布等许多常见的分布。1997年，Jorgensen给出了再生散度模型的定义，研究了再生散度模型的一些重要性质[2]。比如：给出了再生散度模型的密度函数的鞍点逼近。2010年，Xia and Wang研究了再生散度模型的概率密度函数的积分性质，指出在一些正则条件下，对再生散度模型的概率密度函数的积分，关于其参数求导运算可以通过积分号来进行[3]。该文主要研究利用这个性质，来求随机变量的数学期望和方差。
1 定义
如果随机变量Y关于某个适当的测度的概率密度函数可表示为：
（1）
其中a（.;.）≥0为某一合适的已知函数;d（.;.）为定义在C×Ω上的单位偏差度（unit deviance）函数，，Ω是一开区间，凸支撑集C为包含S的最小区间，S是概率密度函数的支撑集，d（.;.）满足正定性条件：
（2）
其中μ∈Ω为位置（position）参数，σ2>0为散度（dispersion）参数，则称Y服从参数为μ和σ2再生散度分布模型（reproductive dispersion models），简记为Y～DM（μ，σ2）。
2 再生散度模型的概率密度函数的积分的求导性质
设T（Y）是的Y函数，v（.）是某个适当的测度，为了研究导数：
在什么时候能通过积分号，Xia and Wang给出以下条件和定理[3]。
条件：
（A1）d（y;μ）是的二阶可微函数，d（y;μ）关于μ的一阶、二阶导数均在C×Ω上连续;A2μ0是Ω的任意点d（y;μ0），d'（y;μ0），关于y在集合C上一致成立，其中d'（y，μ）。
定理1（见Xia and Wang的定理2.1）：如果正则条件（A1），（A2）成立，且对所有μ∈Ω，ET（Y），ET（Y）d'（Y，μ），ET（Y）（d'（Y;μ））2，ET（Y）d''（Y;μ）均存在并且是有限的，那么积分T（y）α（y;σ2）expdv（y）关于μ的一阶导数和二阶导数均可以在积分号下进行。
推论1（见Xia and Wang的推论2.1）：假设正则条件（A1）和（A2）成立。进一步假设对于所有μ∈Ω，E（d（Y;μ））2，Ed''（Y;μ）均存在并且是有限的，那么下面等式成立：
E（d'（Y;μ））=0，E（d'（Y;μ））2=2σ2>E（d''（Y;μ） （3） 3 性质的应用
该节研究如何利用上面介绍的再生散度模型的概率密度函数的积分的求导性质，来求一些常见的随机变量的数学期望和方差。由于积分T（y）α（y;σ2）exp中的v（.）是某个适当的测度，故当v（y）是Lebesgue测度时，被积函数正是连续型随机变量的概率密度函数，这时，利用定理1和推论1的结论，可以求出连续型随机变量的数学期望和方差。下面举例说明。
例1：设随机变量Y～N（μ，σ2）求其数学期望和方差。
为了比较方法的优劣，该题中给出了多种解法。
解法1：传统的方法，即用定义求数学期望和方差。
因为Y～N（μ，σ2），故其概率密度函数为：
于是
令，则有
令则有：
从而可得：
上面的解法是传统的解法，即用定义求解。下面我们利用再生散度模型的概率密度函数的积分求导性质来求其E（Y），D（Y）。
分析：因为Y的概率密度函数为：
其中，d（y：μ）=（y-μ）2，（y，μ）∈R×R可见它属于再生散度模型，因此可以利用再生散度模型的概率密度函數的积分的求导性质来求其E（Y），D（Y）。
解法2：单位偏差度函数为：d（y：μ）=（y;μ）2，
从而d'（y：μ）=-2（y-μ），d''（y：μ）=2
易见正则条件（A1），（A2）均成立。又显然E（d'（Y;μ）2），Ed''（Y;μ）对任何均存在且有限，于是由推论1知，公式（3）成立，即有：
Ed'（Y;μ）=0，E（d'（Y;μ）2）=2σ2Ed''（Y;μ）。
由（3）的第一个等式可得：
Ed'（Y;μ）=E[-2（Y-μ）]=-2[E（Y）-μ]=0
解得E（Y）=μ。
由（3）的第二个等式可得：
E（-2（Y-μ））2=2σ2×E（2），
即有D（Y）=E（Y-μ）2=σ2。
解法3：不用公式（3），用定理1的结论也可以求得E（Y），D（Y）。易知定理1的条件均成立，因此由定理1知，积分
关于μ的一阶导数和二阶导数可以通过积分号，即在积分号下进行求导运算。
因为 （4）
将（4）式两边对μ求导数可得：
即有 （5）
从而
将（5）两边再对μ求导数可得：
从而D（Y）=σ2。
注：3种方法的比较。方法1解题比较繁琐;方法2解题简单，但要记忆公式;方法3不需要记公式，只要在等式∫∞-∞p（y;μ，σ2）dy=1两边关于未知参数μ求导，就可以求得随机变量的数学期望和方差，其方法更为简捷。
从上述的例题可以发现，利用再生散度模型的概率密度函数的积分的求导性质可以求出随机变量的数学期望和方差，其方法是有效的且比教材中的方法更为简便，它丰富和发展了传统的方法。
参考文献
[1] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].4版.北京：高等教育出版社，2008：90-112.
[2] Jorgensen，B. The Theory of Dispersion Models[M]. London： Chapman and Hall，1997：1-30.
[3] Xia， T.， Wang，Y.B. A note on the properties of the reproductive dispersion model[J].Statistics and probability letters，2010（80）：1397-1404.
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