直观想象：赋予儿童数学思考的力量
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作者:蒋太金
【摘 要】直观想象对于发展儿童的数学思考具有重要价值，它有助于激发儿童独立自主的学习意识，培养儿童科学有效的思维方式，唤醒儿童实践创新的理性精神。教师在教学中注重引导、帮助和鼓励儿童沟通数形联系、构建直观模型、创新探究模式，有利于培养他们理性思考的品质。
【关键词】直观想象;数学思考;理性精神;数形联系;直观模型;探究模式
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2020）25-0037-04
【作者简介】蒋太金，江苏省连云港市和安小学（江苏连云港，222000）教师，一级教师，连云港市教学标兵。
良好的数学教育不仅要传授知识、培养技能，还要发展学生的思维能力和创造能力，提升学生的理性思维、审美智慧和创新精神，更要让学生经历数学发现的过程，学会数学地思考问题。数学思考是数学学习的基础和核心，是数学教学中最有价值的行为，是数学课堂教学的生命力之所在。
一、当下儿童的数学思考存在缺位问题
数学思考，就是指在面临各种现实的问题（包括非数学问题）情境时，能够从数学的角度去思考，自觉应用数学的知识、方法、思想和观念去发现其中存在的数学现象和数学规律，并能运用数学的知识、思想和方法去解决问题。
然而，在当下的数学教学中，儿童的数学思考存在一些缺位现象。例如：在数学学习中，一些学生的表现消极、被动，缺少自主学习的兴趣和意识，他们在遇到问题时想的不是去探究、去发现，而是“游离”在一边，不去思考或假装思考;在数学交流中，很多学生的思考往往停留在浅表层面，主要是由于学习体验不到位，缺少实践反思，缺乏对问题本质的深层分析;在数学探究中，有些学生的学习方式和思维方式单调而低效，在遇到问题时，他们的思考或支离破碎、没有头绪，或天马行空、漫无边际，缺少方法的积累和思想的沉淀。
二、直观想象对培养儿童的数学思考具有重要价值
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思维过程。它不单是空间想象能力，也不单是数形结合思想，而是多种数学思想、数学能力的发展和融合。直观想象主要具有以下特征：其一是直观性，直观想象是联结形象思维和抽象思维的纽带，它既可以借助几何直观把现实情境或数学问题抽象成直观模型，也可以运用空间想象把复杂的图形表征抽象成可视化的思维模型;其二是思辨性，直观想象是一个思辨的过程，在这一过程中，需要调动多种感官，从不同的角度进行分析和综合，将物体的形状、特征、变化等结合起来，将眼前的物象与心中的意象融为一体，进行深层次加工;其三是创造性，直观想象带给儿童的不仅有分析问题和解决问题的思路和方法，还有其背后蕴含的数学思想和学习经验。由上可知，直观想象能开阔儿童的学习思路，丰富儿童的学习方式，提高儿童学习的自主性和创造性。
三、以直观想象促进儿童数学思考培养的教学策略
（一）沟通数形联系，化抽象为形象，培养儿童数形转化的意识
1.借形解数，唤醒操作经验。
数学是抽象的，数学定义的理解、算法的形成、规律的探究等本身就是一个个抽象的思维过程。但儿童的抽象思维能力并未形成，教师应充分借助直观操作、直观模拟等为他们提供思考的平台和“试验场”，引导他们逐步从直观模型过渡到数学理解。如教学苏教版三上《两位数除以一位数》一课，计算46÷2，相较于探索算法和理解算理，唤醒学生的操作经验更有意义。教师可以引导学生借助实物或图形分一分、摆一摆，巧妙地化解算法的抽象，这种真实的操作体验有利于学生在头脑中形成清晰的表象，从而实现对算理的透彻理解。然后从直观操作引出竖式计算。最后将竖式计算与直观操作进行类比。这一“联系操作支持理解，再由算法回溯操作”的过程，有助于学生顺利实现从动作思维到符号思维的过渡。
2.赋形以数，内化意义建构。
图形的直观性为抽象的数学理解带来了很大的便捷，但有时也需要赋予“形”以“数”的意义，把直观图形抽象成具象的数字，從而使儿童理解图形的本质。如教苏教版四上《周期规律》一课，教师出示这样一道练习题：“下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？照这样画下去，第6个图中的红色小正方形和蓝色小正方形各有多少个？”如果学生只是通过继续画图来寻求结果，那么他们的思考往往只能停留在表层。如果跳出这一“藩篱”，把隐含在图形中的信息抽象成具体的数字（如图1），然后先分析数字中的规律，再结合图形来验证，反而更容易解决问题。
无论是借形解数还是赋形以数，都是为了在抽象与直观之间架起一座桥梁，促进学生生成一种数形转化的思维方式，使他们在遇到一些实际问题时能够灵活地进行数学思考。
（二）构建直观模型，化复杂为简单，提升儿童分析推理的能力
1.搭建操作模型，让分析游刃有余。
美国教育学家布鲁纳认为，学生对数学知识的理解有三种模式：一是直观动作模式，二是具体形象模式，三是抽象逻辑模式。这是一个从动作感知到形象表象再到逻辑抽象的过程。教师教学时搭建操作模型，引导儿童将数学抽象付诸具身体验之中，既有利于儿童分析和理解问题，也有助于他们实现从形象到抽象的过渡。如教学苏教版三上《分数加减法》一课，由情境引出算式 + 之后，接下来的探究环节，如果教师直接放手给学生，不少学生会直接将分子相加、分母相加，得出 ，这显然偏离了探究的主旨和方向。但如果充分利用教材的“情境功能”，引导学生先把长方形的 涂上红色， 涂上绿色，再写出算式的得数，学生便能通过涂色和观察清晰地发现：5个 加2个 得7个 ，是 。操作的过程给学生带来了真实、深刻的活动体验，让学生的分析和理解有了最原始的数学模型。在这一过程中，智慧在学生的指尖流淌，思维在学生的体验中自然生成。 2.构建图像模型，让思考落地生根。
数学的本质特征是其抽象性，抽象的数学知识本身也是儿童认知和理解的难点。在数学教学中，为抽象的数学知识建立起适切的图像（图形）模型，引导儿童借助图像（图形）的直观性来学习和审视抽象的内容，他们的思考便有了有力的支撑和清晰的视角，从而能有效地解决问题。如教学苏教版五上《和与积的奇偶性》，探究之后，学生便能发现：和的奇偶性与加数中奇数的个数有关系。看似完美的结局，实则未能真正凸显规律的本质。但如果教师此时及时追问：“为什么会这样呢？”便会激起学生深层次的思考，进而借助图像（如图2）分析得出：奇数的个数是奇数，把奇数两个两个地凑成一对（即一个偶数），必然还剩下一个奇数，所以和是奇数。直观的图像真实地还原了数学问题的本质特点和核心规律，清晰地再现了学生数学思考的过程，学生的学习智慧正在逐步形成。
3.创建思维模型，让思维拾级而上。
从更开放的视角来看，教师在教学中还应引导学生创建思维模型，充分展现学生思维的全过程。如苏教版五下“圆”单元有这样一道习题：求图（如图3）中涂色部分的面积。不少学生在解答时感到困难。究其原因，学生的思维是零散的、片面的，他们分析问题时缺乏清晰的脉络和系统的思考。此时，教师可以引导学生利用思维导图进行分析（如图4），让每一步分析都清晰可见，数学推理也自然形成。环环相扣的思维模型既展现了解题方法，还原了推理过程，也拓宽了学生的思维空间，有助于学生反思意识和学习能力的培养。
（三）创新探究模式，化无章为有法，发展儿童理性思考的品质
1.建构推理模式，让思考更加灵活。
推理是数学的基本思维方式。推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。从推理的角度观照数学教学，其活动过程就是数学推理的过程。数学直观能为推理提供模型参照，空间想象能在儿童脑海中勾勒出形象的思维模型和推理路径。教师在教学中融入推理，让儿童的学习过程转变为主动发现、实验、想象和验证等活动过程，课堂也会因此增添几分智慧和灵动。如苏教版五下“解决问题的策略：转化”单元有这样一道练习题：有8支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制进行。一共要进行多少场比赛才能产生冠军？学生不难想到，可以画图（如图5）来分析：8支球队两两比赛要赛4场，获胜的4支球队再两两比赛要赛2场，以此类推，一共要比赛4+2+1=7（场）。其实，分析到这里，教学并没有结束，教师还应引导学生进一步反思和推理：产生冠军，就是最后只剩下1支球队，也就是要淘汰7支球队，因为每场比赛淘汰1支球队，所以一共要比赛8-1=7（场）。
2.重構思维模式，让思想更加自由。
美国心理学家卡罗尔·德韦克指出：人与人之间的差距，就在于思维模式的不同。教师在教学中要关注儿童的心理、态度和习惯，帮助他们树立正确的学习观，重建科学的成长型思维模式，不断激发他们的成长意识和探索精神。如教学苏教版五下《圆环的面积》一课，学生通过思考大都能发现圆环（如图6）的面积计算方法，即外圆的面积-内圆的面积=圆环的面积，从而得出π×102-π×62=64π（cm2）。与此同时，一位学生提出了与众不同的观点。
生：如果对着圆环剪一刀，我们想象一下，展开来就应该是一个梯形（如图7）。拼成梯形后，梯形的上底就是内圆的周长，下底就是外圆的周长，高是4米，这样，梯形的面积为（12π+20π）×4÷2=64π（cm2），和刚才的计算结果是一样的。
师：同学们觉得她说得有道理吗？
大部分学生表示赞同，但也有少数学生不认可。教师适时引导学生对上述方法展开讨论……
笔者认为，无论学生的发现是否成立，无论他们探究到了何种程度，只要他们认真思考了，就会有自己的理解和感悟。这种独特的视角、“另类”的表达直接激起的是学生的创新意识，不仅让学生感受到了成功的喜悦，也成就了他们思维的精彩。
康德曾说：“如果没有感性，则对象不会被给予;如果没有知性，则对象不能被思考。没有内容的思想是空洞的，没有概念的直观是盲目的。”要引导儿童进行直观想象，教师就要给他们提供广阔的平台，让每一个儿童自主地学习、积极地建构、灵活地思考。如此，儿童的可能性被激发，学习意识持续生长，行为习惯持续生成，他们的数学思考也定会精彩绽放。
【参考文献】
[1]周德明.借助几何直观理解问题，构建直观模型解决问题[J].中学数学，2019（2）：3-9.
[2]戚兴栋.立足知识本质，发展学生几何直观力[J].数学教学通讯，2018（11）：10-11.
[3]周立栋.小学数学中的推理及其教学[J].上海教育科研，2016（12）：90-92，61.
注：本文获2019年江苏省“教海探航”征文竞赛特等奖，有删改。
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