数学归纳法的思想精髓

作者:未知

  [摘 要] 科学原理和科学方法必然蕴含着与之相适应的科学思想。通过“归纳思维方法”与“数学归纳法”的分析解读了数学归纳法的思想精髓——“无限递推思想”,揭示了无限递推思想模式的教学演绎规律,用生活中的案例和生活化的语言加以直观描述,用图式化的语言加以提炼,再用数学化的符号语言准确表达,促使学生对这一数学思想模式的直观感受、理解、感悟、过程参与、事后升华,形成无限递推的数学思想模式,直到掌握并应用到微积分学的教学实践中。
  [关键词] 数学归纳;演绎规律;无限递推;数学思想模式
  [作者简介] 王智勇(1963—),男,四川内江人,本科,内江职业技术学院素质教育部讲师,经济师,主要从事高等数学教育、数学应用与企      业管理和企业创新研究。
  [中图分类号] G712    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324(2020)34-0124-04    [收稿日期] 2020-03-10
   著名数学家拉普拉斯提出:“甚至在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比。”又在《概率的分析理论》中论述到“分析與自然哲学中最重大发现都应归功于这种丰富多产的方法,也就是所谓的‘归纳’方法,牛顿万有引力原理,就是归纳的成果。”[1]著名数学家欧拉认为:“观察所得的知识,通常用归纳所得的,然而我们已经看到过单纯的归纳曾导致过错误。因此,我们不要轻易地把观察所得的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真。诚然,我们应该把这种发现当成一种机会,去更精确地研究所发现的性质,以便证明它或推翻它;在这两种情况中,我们都可以学到一些有用的东西。”[2]著名数学家拉普拉斯论述了“归纳”在“最重大发现”的重要作用,而著名数学家欧拉把“归纳”的“发现当成一种机会”,但更重视“归纳”得出的知识与结论的验证,用“更精确地研究”进行“证明它或推翻它”。验证和证明“归纳”结论的有效方法之一——“数学归纳法”,蕴含着“无限递推”的数学思想。本文阐述了“归纳”与“数学归纳法”后,从分析“最小自然数原理”的精髓、数学归纳法的精髓及其等价性的视角,对数学归纳法“无限递推思想”进行数学模式教学演绎,用生活中的案例和生活化的语言加以直观描述,用图式化的语言加以提炼,再用数学化的符号语言准确表达,深刻揭示“数学归纳法”中蕴含着的“无限递推”的数学思想模式,并将“无限递推思想模式”应用到微积分学的教学实践中。
  一、归纳思维方法与数学归纳法
  (一)归纳思维的方法
  在实践中,人们总是跟一个个具体的事物打交道,首先获得这些个别事物的知识,然后在这些特殊性知识的基础上,概括出同类事物的普遍性知识。例如,科学研究从宏观世界的物资入手,探寻物资的内部结构,进入微观世界,将宏观物资细分为分子和原子,微观世界的原子还可再分为电子、质子和中子,以至更小的微粒夸克等,人们由此得出“宏观物质不仅可分,而且是可以无限细分”的一般结论。对物质无限细分的认识过程,包含了“由特殊→一般结论”的归纳思维方法。是指从许多个别的事物中概括出一般性概念或原则或结论或规律的思维方法。命题P(1)、P(2)、P(3)、P(4)……为真,代表的是“局部”或“个体”为真。命题P(n)为真,就是代表了“整体”“一般”为真。归纳法可分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法和不完全归纳法分析比较如下:
   (二)数学归纳法
  (二)数学归纳法的精髓为“无限递推思想”
  数学归纳法中要求用演绎推理的方法,严谨地证明命题成立。即:
  (1)命题P(1)成立。
  (2)假设命题P(k)成立。
  (3)演绎推理证明:假设命题P(k)成立时,命题P(k+1)成立。
  结论:命题P(n)(n∈N)成立。
  由此可以得出,在数学归纳法中的核心就是“无限递推思想”:
  命题P(1)成立若命题P(n=1)成立→命题P(n+1)成立→命题P(2)成立
  命题P(2)成立若命题P(n=2)成立→命题P(n+1)成立→命题P(3)成立
  命题P(3)成立若命题P(n=3)成立→命题P(n+1)成立→命题P(4)成立
  命题P(3)成立若命题P(n=k)成立→命题P(n+1)成立→命题P(k+1)成立
  就这样无限递推,假设命题P(1)、P(2)、P(3)、P(4)…P(k+1)都成立了。其中归纳命题“若命题P(k)成立→命题P(k+1)成立”的“无限递推思想”起到了关键作用。
  (三)“最小自然数原理”与数学归纳法等价性解读
  1.用“数学归纳原理”证明“最小自然数原理”。
  证明:当自然数集中只有一个自然数元素时,这个元素就是最小自然数,命题成立。
  3.“最小自然数原理”与“数学归纳原理”的等价性表现在以下几点。
  (1)由“最小自然数原理”可以证明“数学归纳原理(方法)”,反之,又由“数学归纳原理(方法)”也可以证明“最小自然数原理”。
  (2)“最小自然数原理”与“数学归纳原理(方法)”共同蕴含了“无限递推思想”。
  三、数学归纳法“无限递推”的数学思想模式解析及其教学模式演绎
  (一)数学归纳法的“无限递推思想模式”解析及其演绎举例
  数学思想模式表达:指数学研究和数学教学中以图形或程序式的方式阐释对象事物的一种思想方法,这种方法具有双重性质。
  1.思想模式表达内容与现实事物具有对应关系,但又不是只对现实事物单纯的描述,而是针对事物的本质或规律或规则或思想属性,进行某种程度的概括和抽象化,阐释和表达了事物的本质属性和规律特征。
  2.数学思想模式与一定的数学理论和数学方法相对应,又不完全是数学理论和单纯的数学方法,而是对理论的一种解释或素材描述。数学思想模式虽然具有不完全性,但它是人们理解事物、学习理论、探讨理论的一种有效的思想方法。
  3.数学思想模式的本质蕴含着数学思想或思维定式,如数学归纳法的数学思想模式中蕴含着“无限递推”的数学思想。蕴含的数学思想或思维定式可以将数学思想模式演绎或应用到现实世界的多种领域内。数学归纳法是一种证明方法,蕴含着“无限递推”的数学思想,形成独特的解题格式,与一般证明的思想方法相比更呈现出模式化的特点:
  参考文献
  [1][美]G.波利亚.数学与猜想(第1卷)[M].李心灿,等,译.北京:科学出版社,2001:1.
  [2]张禾瑞,郝炳新.高度代数[M].北京:人民教育出版社,1980.
转载注明来源:https://www.xzbu.com/9/view-15306103.htm

服务推荐