二项式定理的起源及其应用

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　　摘要：二项式定理许多人都不陌生，在初等数学中就对二项式定理有了介绍，它是一种基本的运算。谈到二项式定理的起源，则可以追溯到五六百年之前，古代的欧洲亚洲都对它做过研究。古时候，关于二项式乘方展开，人们就有了朴素的思考，到了近代则逐渐完善着它，如今，在众多领域都能见到二项式定理的广泛应用，如开高次方、等差数列求和等等，并且对微积分的发展起到了至关重要的一步，除了在数学领域，在遗传学、物理学也都有相关应用。本文对二项式定理的定义、起源、性质及其在高考等领域的应用进行了充分介绍，希望能对有关研究起到帮助。
　　关键词：二项式定理   乘方展开   应用
　　二项式定理许多人都不陌生，在初等数学中就对二项式定理有了介绍，它是一种基本的运算。谈到二项式定理的起源，则可以追溯到五六百年之前，古代的欧洲亚洲都对它做过研究。在概率论的研究中，二项式定理源远流长，在欧洲的1664年、1665年之间，被艾萨克·牛顿首先提出。雅克·伯努利（Jacques Bernoulli）也对它做过研究。在1708年到1718年之间，有学者研究了多项式，即二项式分布的多维泛化。后来科学家多数情况下使用二项式定理在具体情境下的应用，经过不断发展，亚伯拉罕·棣莫弗于1733年首次发表了他的研究成果，其后皮埃尔·西蒙德拉普拉斯、弗朗西斯高尔顿等人将二项式定理应用到物理学中进行统计检验。二十世纪，在遗传学、生物学、植物生态学领域，二项式定理得到了广泛的应用。
　　一、二项式定理的定义
　　在初等代数中，二项式定理（或二项式展开）描述了二项式幂的代数展开。根据定理，能够扩大多项式（a+b）n成总和涉及形式上一个ax by。
　　根据该定理，可以将a+b的任何幂扩展为形式的总和（a+b）n=an+ an-1b+ an-2b2+…+ ab n-1+bn，每个n和n-k是一个特定的正整数，称为二项式系数。（当指数为零时，相应的幂表达式被取为1，并且该乘法因子通常在该项中被省略。该公式也称为二项式或二项式。
　　二项式定理的最基本的例子是用于平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2，出现在该扩展中的二项式系数1，2，1对应于Pascal三角形的第二行。（注意，按照惯例，三角形的顶部“1”被认为是第0行。）x+y的较高幂的系数对应于三角形的较低行：
　　二、二项式定理的起源
　　平方和公式对很多人来说都不陌生，古时候的中国就已经在运用这个公式 （a+b）2=a2+2ab+b2了。平方和公式是公式（a+b）n的特殊化。说到（a+b）n就必须介绍“贾宪三角”。因为（a+b）n的系数表为：
　　以上这个三角形，通常被称为“贾宪三角”。古人认为这个三角形是北宋的数学家贾宪首先发现。此外，在阿拉伯也有一位数学家在他的著作《算术之钥》中给出了该三角形，他就是卡西，他同贾宪所用的方法基本一致。
　　而在欧洲，这个三角形一般被称为“Pascal三角形”，因为大多数欧洲人持这样一个观点：该三角形是法国科学家Pascal首创的。但事实上，从时间上看，中国和阿拉伯发现这个三角形要早于欧洲。
　　到了1665年，牛顿对二项式定理进行了推广，除了n为正数以外，n为负数和分数的情境下同样适用，牛顿对推广到了n为分数与负数的情形作了说明，写出了二项式定理的展开式（a+b）n=an+an-1b+an-2b2+…+ abn-1+bn
　　但牛顿仅仅给出公式，并没有相应的证明，一直到了1811年，才有大数学家高斯的证明，验证了牛顿的猜想。
　　三、二项式定理在高考中的考查方向
　　二项式定理作为高中数学课中重要的内容，一直是高考考查的重点难点，在历年高考中都经常出现，有涉及到二项式定理的题型，题目变化多样，不但有选择填空，也有难度较大的证明题。对高中生在能力上的要求，二项式定理并不太高，主要考查方向在于运用二项式定理来分析、解决问题，其他很少做要求。 高中生只需要能够掌握其基本性质，此外，也要具备熟练运用的能力，掌握这两项就能够解决相应问题，如求二项展开式、二项式系数等多种问题。
　　（一）二项式定理性质
　　熟练掌握二项式定理的性质才能顺利解题。
　　1.二项式系数的对称性：若两个二项式系数位于展开式两端，且满足“对距离”条件，则它们恒保持相等。
　　2.二项式系数的奇数项和与其偶数项和保持相等。
　　3.二项式系数的最大项的唯一性。
　　4.系数的最大项求法，根据最大项的唯一性可很容易得出求法，在这里不再详细赘述。
　　（二）二项式定理的应用
　　在历年高考，二项式定理作为高中数学课中重要的内容，一直是高考考查的重点难点，在历年高考中都经常出现，有涉及到二项式定理的题型，题目变化多样，不但有选择填空，也有难度较大的证明题。对高中生在能力上的要求，二项式定理并不太高，主要考查方向在于运用二项式定理来分析、解决问题，其他很少做要求。 高中生只需要能够掌握其基本性质，此外，也要具备熟练运用的能力，掌握这两项就能够解决相应问题，如求二项展开式、二项式系数等多种问题。
　　1.求二项展开式
　　求二项展开式为有关二項式的所有考题中最常见也是最简单的题型，不涉及任何解题技巧，只要熟背公式，运用二项展开式的通项展开即可。需要注意如果式子比较复杂，可以先化简再用进行展开，这样可以降低难度。
　　2.求二项式系数
　　求二项式系数较求二项展开式的难度有所增长，但相对来说也比较基础。此处需要利用二项式展开式的通项公式，并结合二项式系数的性质，可能还需进行二项展开式的恒等 变换，在历年高考出现的可能性更大，该类题型所占比例也相对较高，针对不同的题型，万变不离其宗，要牢记通项公式并熟练运用二项式系数的性质，两者相结合求出答案。 　　3.求二项式有理项
　　利用二项式定理求二项式有理项问题，在高考中非常常见，只要学生能够熟练掌握并灵活运用通项公式，往往问题不大。需要学生能够熟记通项公式，通过抓住给定条件，找出题目特征，结合通项公式逐个击破。
　　4.求近似值
　　利用二项式定理求近似值的问题对计算能力有较高要求，因此不常出现，不作为考查的重点。但也应该知道有这一种题型。
　　5.求整除或余数问题
　　有关整除或余数问题也属于高考中一类重难点题型，对于这类题型，有其固定的方法，在解题时一定要注意仔细认真，避免犯低级错误。
　　6.证明不等式
　　证明题一直是很多学生的“老大难”问题。许多学生畏惧证明题，看到证明题就不愿意动手，其实证明题也是有其技巧的，只要记住每种题型的步骤，就很简单。在高中证明题的主要方法有以下几种，放缩法、分析法、换元法、数学归纳法等，因为证明题本身很难，因此初等数学中考查难度较小，只要多做题，熟练基本套路即可。
　　四、二项式定理在其他领域的应用
　　除了历年高考将二项式定理作为考查的一个重难点，它在其他领域也有着广泛的应用。
　　（一）二项式定理在概率论中的应用
　　在概率论和统计学中，二项式法模拟了在几个相同随机实验的独立重复期间获得的成功数。表示这一系列实验的最直观方式是使用概率树：在每一代树中，从每个节点开始引出两个分支，一个用于成功，一个用于失败。
　　在数学上，这个离散概率定律由两个参数描述：n实验的数量，和p成功的概率，名为伯努利测试。对于每个名为伯努利测试的实验，我们需要定义一个随机变量，该随机变量只有两种取值，0和1，随机试验成功取1，反之则取值0。随机变量，即所有这些随机变量的总和，计算成功的数量，为是二项式定律。那么我们则可以很容易得出在重复的n次实验中，获得k成功的概率：
　　二项式定理可以用于简单情境下模拟成功或失败的概率，例如硬币游戏。
　　（二）高阶等差数列
　　高阶等差数列在初等数学中常见的题型中为求通项和前n项和，而在高等数学中则有更深层次的问题，即求解差分方程，解决问题的方法有很多，如逐差法、待定系数法、裂项相消法、化归法等，用二项式定理也可简便求解。
　　（三）在组合数学中的应用模型
　　证明组合数恒等式，通常采用赋值法进行构造，再通过研究甬数关系变更问题获得解决。
　　（四）二项式定理在遗传学中的应用
　　遗传学是生物相关专业的重要基础课，难度比较大，不少遗传学问题的解决往往需要利用一定的数学知识，其中有关二项式定理在遗传学中有着较为广泛的应用。
　　1.婴儿性别与抛硬币问题
　　出生婴儿性别问题是遗传学中常见的问题，该类问题有一下特质，一方面，每一次婴儿出生时既可能是男孩也可能是女孩，其概率均为50%，另一方面，具體某次出生婴儿的性别不受其他时间出生婴儿性别的影响，即在概率论的角度上讲，连续出生婴儿性别问题是相互独立的事件，相当于进行了n次独立重复试验;此外，婴儿性别只存在两种可能，要么是男孩，要么是女孩。综上所述，在该问题上，可以使用二项式定理求解。
　　2.杂种后代
　　群体中基因型分布问题，也可以用二项式定理来解决，这是因为杂合基因在形成配子时，无论配子带有显性基因，抑或是带有隐性基因，他们的概率都是相等的，都是50%，而多对基因组合在概率论的角度上讲，也相当于是独立重复事件。
　　二项式定理在遗传学中的应用还有很多，此处简要介绍两个比较典型的例子。
　　五、结语
　　二项式定理许多人都不陌生，在初等数学中就对二项式定理有了介绍，它是一种基本的运算。谈到二项式定理的起源，则可以追溯到五六百年之前，古代的欧洲亚洲都对它做过研究。在概率论的研究中，二项式定理源远流长，在欧洲的1664年、1665年之间，被艾萨克·牛顿首先提出。雅克·伯努利（Jacques Bernoulli）也对它做过研究。在初等代数中，二项式定理（或二项式展开）描述了二项式幂的代数展开。根据定理，能够扩大多项式（a+b）n成总和涉及形式上一个ax、by。在历年高考，二项式定理作为高中数学课中重要的内容，一直是高考考查的重点难点，在历年高考中都经常出现，有涉及到二项式定理的题型，题目变化多样，不但有选择填空，也有难度较大的证明题。对高中生在能力上的要求，二项式定理并不太高，主要考查方向在于运用二项式定理来分析、解决问题，其他很少做要求。高中生只需要能够掌握其基本性质，此外，也要具备熟练运用的能力，掌握这两项就能够解决相应问题，如求二项展开式、二项式系数等多种问题。如今，在众多领域都能见到二项式定理的广泛应用，如开高次方、等差数列求和等等，并且对微积分的发展起到了至关重要的一步，除了在数学领域，在遗传学、物理学也都有相关应用。本文对二项式定理的定义、起源、性质及其在高考等领域的应用进行了充分介绍，希望能对有关研究起到帮助。
　　参考文献：
　　[1]鄢盛勇.四元数分析中的幂函数与二项式定理[J].成都师范学院学报，2017，（07）：120-124.
　　[2]孟桂芬.二项式定理的应用[J].承德民族职业技术学院学报，2003，（03）：56-57.
　　[3]滕旭.由二项式定理到多项式定理的推广研究[J].曲靖师范学院学报，2017，（06）：1-5.
　　（作者单位：河北省张家口市第一中学）
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