微分中值定理的应用小结
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摘 要：微分中值定理在数学问题的研究中具有重要的作用，是联系函数与导数的桥梁。文章主要讨论了微分中值定理在不等式证明，单调性讨论，根的存在性，以及利用中值定理证明函数一致连续性等9个方面的应用，以提升对微分中值定理的理解。
关键词：微分中值定理；构造函数法；应用
中图分类号：O172 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2019）20-0184-03
Abstract： Differential mean value theorem plays an important role in the study of mathematical problems and is the bridge between function and derivative. This paper mainly discusses the application of differential mean value theorem in the proof of inequality， the discussion of monotonicity， the existence of root， and the proof of uniform continuity of function by using mean value theorem in order to improve the understanding of differential mean value theorem.
Keywords： differential mean value theorem； construction function method； application
引言
微分中值定理包括了羅尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，其中每个定理之间环环相扣[1]，分别从宏观和微观的角度揭示了函数在区间里以及某一点上的关系，是研究函数性质的重要工具，具有巨大的理论意义和应用价值。
中值定理及其推广和变换形式具体见参考文献[2]，本文旨在总结微分中值定理在常见的几个函数证明类问题的应用，不再复述定理具体内容。通过含有中值点问题，不等式和等式的证明，根的存在性，判断级数收敛问题，函数一致连续性，求极限和估值计算，以及函数单调性9个方面进行对微分中值定理的应用总结。其中主要利用构造函数和构造符合中值定理形式的方法巧妙的将微分中值定理应用于证明之中，将某些不显含中值定理形式的题目，通过区间条件和取值范围来构造特殊形式从而进行推理证明。
1 微分中值定理的应用
1.1 证明含有中值点的问题
针对这类问题主要在于利用对应的微分中值定理找到符合题目要求的中值点，常用的中值定理主要是拉格朗日中值定理，以及利用构造函数的方法来求解相关问题[3]。
1.3 证明相关的等式
对于一些特定的等式，可以利用到微分中值定理去求解，特别是涉及到在某个区间导数与点的关系时，下面通过这个例题来进一步了解。
1.4 证明根的存在性
除了常见的一元二次方程的根存在性问题，还有一些有关复杂的方程的根的问题，对于这些问题，我们通常可以考虑用微分中值定理去进行分析，通常可以用到罗尔中值定理去进行判断根的存在性，同时要注意函数在区间上的连续性、可导性问题[4]。
1.5 利用中值定理求函数的极限
对于一些求极限问题，有些时候使用洛必达法则或者进行形式的变换，难免存在计算过于复杂或者难以求解的情况，此时可以考虑通过中值定理去进行构造函数或者直接进行分析求解，下面通过这个例题来了解一下。
1.6 利用中值定理证明函数一致连续
对于函数一致连续性的证明我们通常根据定义来进行证明，寻找满足条件的？啄，使得对？坌？着>0，|x1-x2|<？啄时，函数一致连续，其中在形式上与中值定理相似，所有的时候可以考虑使用中值定理去进行证明，请看下面的例子。
1.8 证明级数收敛问题
证明级数收敛问题主要是通过收敛的判定条件去进行证明，而在利用判定条件的过程中，我们可以通过构造函数去进行判断，而其中就能用到拉格朗日中值定理，比如下面这道关于调和级数的证明。
利用拉格朗日中值定理可以较好的进行判断，但是过程中要确定拉格朗日中值定理使用的前提条件，在区间上连续，区间内可导，再进行判断函数的导数是否大于0，此外，连续函数在个别点处无导数不影响函数的单调性[5]。
2 结束语
微分中值定理是微分学的理论基础，它的应用还有许多其他方面，以上只是例举出了比较常见的应用类型，通过对上述例题所对应的微分中值定理的掌握，以及借助构造函数的方法对中值定理加以运用，可以明白微分中值定理在许多数学问题中的重要性，能够更好地加深其理解。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版上册）[M].北京：高等教育出版社，2017.
[2]樊守芳.微积分中值定理若干问题[M].哈尔滨：黑龙江大学出版社，2011.
[3]杨艳萍，明清河.数学分析中的重要定理[M].北京：电子工业出版社，2015.
[4]张天德，孙书荣.数学分析辅导以及习题精解[M].延吉：延边大学出版社，2017.
[5]孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究，2009，28（10）：61-63.
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