关于一道平面几何问题的多种解法及思考

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　　一、引言
　　众所周知，平面几何是数学产生的最早形态之一，平面几何通过研究二维平面内的一维直线、曲线的几何结构及度量性质，来解决生活中常见的二维数学问题。它的每一则证明，每一个定理，都无不展现着数学家们早期对数学的感悟与理解，凝结着数学家们早期的思索与智慧，至今仍然源远流长。
　　高中阶段，平面几何很少做单独考察，而是与解析，向量等数学方法相互结合，以此达到对学生数形结合能力的培养与锻炼。本篇文章主要从两则平面几何证明题展开，通过证明方法的多样性来对平面解析几何与向量两种解法进行对比，并从中发掘两种解题方法的内在联系，体会数学之美。
　　二、问题的提出
　　3.分析解法
　　上述几种解法中，在解的过程中，不难发现解题思路有两种：一是纯平面几何法：构造特殊图形，寻找等量关系，利用几何定理证明。二是平面向量：通过设未知数，依据题中已知的等量关系列等式，并通过联立解出未知数。此两种方法各有千秋，但是，两種方法是否有什么本质区别呢？若没有，那么两种看似截然不同的解题思路其内在又有什么深刻联系呢？
　　平面向量是连通几何与代数的重要桥梁。在解析还未被提出时，古代传统平面几何在一部分问题的解决上是那样冗长与繁杂，人们为了解决某一个问题，往往不得不去构造十分复杂的图形，做出大量辅助线，以利用某些公理或定理解决问题。但在笛卡尔首次提出“解析”的概念之后，几何的发展便在欧几里得建立的平面几何时代的基础上又产生了一个新的数学领域：解析几何。而向量，这个早在亚里士多德时代便已经被提出的仅在物理学中有所应用的概念也再一次得到充分的利用，它与解析几何的融合，成功简化了不少繁琐的欧几里得平面几何证明题。
　　那么，为什么向量会使证明步骤简化不少呢？就拿本题来看，若没有梅氏定理法的引理，而却仍用平面几何角度去入手解题时，仍处于高中阶段的我们对于“四等分点”这个关键条件又该如何利用呢？似乎只有作辅助线一条出路了，但问题就是，做完辅助线后的计算量将十分大且庞杂，但为何用解析加向量法便会轻松不少呢？其实解析向量法只是将我们不熟悉的几何线段间的数量关系全部利用未知数去量化，二者毫无本质上的区别，如本题中“四等分点”用向量表示十分简单：即 ，向量法不仅表示有向线段长度十分容易，联立有向线段间的矢量关系得到等式也是比较轻松。此法最终联立等式的形式一般都是λ+?=0，从而以此得到?=0，λ=0。自然，求解未知数更是十分简单。
　　数学总是讲究一个条件一般便对应一个结论，而多个条件也可对应一个结论，多个条件一般每个都应加以利用，缺一不可。那么如何利用条件便也成了解题简与繁的先决因素。但无论如何我们都必须去设法利用到每一个条件。平面几何的方法是构造图形，而向量的方法便是解析运算。若平面几何构造很简单，平面几何法自然是首选，若平面几何构造十分复杂，不妨利用解析向量法，如此便可轻松充分利用题目中每一个条件，得到准确的等量关系，从而解决数学问题。
　　三、结尾
　　代数可以脱离几何而单独存在，几何也可以脱离代数而单独存在，但大部分情况下，二者总是有着较深的内在联系。正是代数与几何的内在结合，才有了数学之美，正是有了代数的严谨与几何的遐想，才有了每个数学家心中的美丽心灵。
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