高中物理碰撞问题的理想模型
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作者:王一帆
【摘要】 在运动中，两个物体发生正碰，可能存在能量损失。完全弹性碰撞遵循能量守恒定律，碰撞前后系统的总动能不变;非弹性碰撞会有能量损失，系统碰撞前后总动能不相等。由于碰撞过程极短，我们可以认为碰撞前后系统的动量保持不变。本文提出的四种碰撞的理想模型探讨了物体质量相等和物体质量无限大的情况，可从这四种模型中理解碰撞发生的过程。
【关键词】 碰撞 能量损失 理想模型 动能 速度
一、引言
碰撞在物理学中表现为两粒子或物体间极短的相互作用。碰撞前后参与物发生速度、动量或能量改变。碰撞可以是宏观物体的碰撞，如打击等，也可以是微观粒子如原子等之间的碰撞[1]。碰撞问题是历年高考试题的重点和热点，同时也是学习的难点。碰撞问题涉及到力与运动、功能转换等。并且，复杂的碰撞问题碰撞次数多，更加考察学生对全过程的分析思路。对于碰撞问题，要通过理想模型来熟知计算公式和深刻了解碰撞前后的变化。所以总结碰撞问题的抽象理想模型，很有必要。
二、碰撞问题的类型
在运动中，两个物体如果发生碰撞，其碰撞后的状态可能存在多种可能。高中阶段一般讨论的是正碰，即可以把物体看作质点，无自身的旋转，这样就不必考虑旋转和力矩对运动的影响。发生正碰，也可能有多种可能的结果，主要是因为有能量损失。高中物理阶段，完全弹性碰撞遵循能量守恒定律，碰撞前后系统的总动能不变;非弹性碰撞会有能量损失，系统碰撞前后总动能不相等，一般是以内能的方式消耗掉。
若在发生碰撞的接触面上存在一根弹簧，则碰撞问题的能量损失问题更便于理解。发生碰撞时，动能首先转化为弹性势能储存在弹簧中;当弹簧压缩至最短时，两个物体共速。此时系统的总动能降到最小，如果弹簧不反向伸长，这就是发生了完全非弹性碰撞，这是能量损失最大的一种类型，弹簧中的弹性势能就是没有弹簧情况下的消耗掉的内能。如果弹簧反向伸长，恢复原长，则碰撞前后没有能量损失，发生完全弹性碰撞。如果弹簧反向伸长，但是没有恢复原长，则存在部分能量损失，发生的是非弹性碰撞。
求解最终的状态，还要结合動量守恒。即发生碰撞的两物体碰撞前后的质量与速度的乘积保持不变[2]。非弹性碰撞有能量损失，导致能量不守恒。但是由于碰撞过程极短，我们可以认为碰撞前后系统的动量保持不变。所以，碰撞的问题一般都需要在动量守恒中寻找一个等式来求解系统变化后的状态。一般地，在题目中如果是弹性球、光滑金属球、分子原子微观粒子等，均默认发生弹性碰撞。如果是接触面涂有橡胶、橡皮泥等，发生的是非弹性碰撞。
三、数学技巧在解物理问题中的使用
数学与物理是密不可分的，物理解题随处可见数值计算、函数、几何、图像、极值法等数学知识[3]。解碰撞问题，一般情况下需要解二元二次方程组。如果采用一般公式解法，可能计算量较大。但是注意到二次方程至多两个解，其中一个解就是碰撞前的速度状态，另一个解是碰撞后的速度状态。当两个物体质量相同时，很容易得出碰撞后发生速度交换的现象。一般情况下的计算也存在对称性，比如本文接下来第4部分的v'1和v'2的计算结果可由角标1和2互换得出。因为本质上，两个物体的状态没有区别，是具有互换性的。
四、四种碰撞的理想模型
为了更好的理解完全弹性碰撞问题，有必要熟知几种常见的碰撞模型。从模型中更加深入地了解碰撞现象。并且，可以从模型出发，理解更复杂的现象。
首先，构建一般的理想模型。有甲乙两个完全一样小球，表面光滑，质量分别为m1，m2，初速度分别为v1，v2（v1>v2）。若他们在水平面上可以发生完全弹性碰撞，则碰撞后的速度分别为多少？
这个结构比较复杂。物理教学和学习过程中注重的是物理思想、物理过程和物理方法，而不是表面的数学运算[4]。当在某一项为0的时候，这个结果可以化简成简单的形式。下面本文提出几个理想模型，均是由此简化而来。
4.1 反弹模型
也就是说，甲球以同速率反向，乙球仍在静止。如果把乙球当成地面，这就很容易理解了。甲球如果弹性好，碰撞时间极短，那么发生类完全弹性碰撞，像乒乓球落地后再弹起。所以这种模型可以称之为反弹模型。当一个极大质量的物体静止时，如果另外一个弹性小物体碰撞，则小物体将被以同速率反向弹开，这就是这个模型的现实意义。
4.2 弹飞模型
也就是说，甲球质量足够大时，碰上质量较小的乙球，对甲球几乎无影响，甲球仍然以原速度向右运动。但是乙球会以2倍的甲的速度被碰撞开。把甲球当成大卡车，那么当它装上一个较小物体时，会使得小物体以二倍的卡车速度摊开，而卡车速度不变。所以这种模型可以称为弹飞模型。这个模型和反弹模型本质相同，若以极大质量的物体做为相对参考系，则弹飞模型就是反弹模型。
当一个极大质量的物体运动时，如果碰上另外一个静止小物体，则大质量的物体速度不变，小物体将被以二倍速度向前弹开，这就是这个模型的现实意义。
4.3 速度交换模型
也就是说，甲球和乙球的速度发生了交换。这个现象从数学公式上也能轻易发现。因为二次方程至多两个解，其中一个解就是碰撞前的速度。两球的质量相同，很容易由对称性得出，另一个解就是交换后的速度。
当两个物体质量相等时，它们发生完全弹性碰撞，则交换速度后前进。牛顿摆即利用这一原理制成。一侧的金属圆球被拉起，释放后重力势能转变成动能，获得初速度。再接触紧挨着的静止金属圆球时，发生速度交换，第一个金属圆球碰撞后静止，第二个金属圆球碰撞后获得第一个金属圆球的初速度，但是又立即与第三个金属圆球发生碰撞，发生速度交换。这样最后将速度传递到另一侧的最后一个金属圆球，使得其获得第一个金属球的初速度，然后动能转换成重力势能，其又可以达到第一个金属球被拉起的高度，然后再重力作用下，再次回落，依此发生速度交换，循环往复，而且碰撞时间极短。这样，看起来就是两侧的金属球互相碰撞弹起，中间的几个金属球静止不动。
4.4 子弹射入模型
上面三个类型都是完全弹性碰撞，不产生动能损失。非弹性碰撞特点是两物体碰撞后共速且有最大动能损失[5]。若甲球追上乙球，发生完全非弹性碰撞，然后两个球黏在一起以共同的速度v'0向前运动。
求得共同速度：
此时，系统碰撞前后以内能消耗的能量损失EQ最大。
当在某一项为0的时候，这个结果也可以化简成简单的形式。
当v2=0时：
可以把甲球当作子弹，乙球当作木块，然后子弹射入木块了，连带木块一起运动。可以发现，是子弹（甲球）的动量，转换成子弹和木块的动量了。另一方面，结合能量损失公式和摩擦系数等参数，还能算出子弹射入木块的深度。
五、结语
碰撞问题是高中物理力与运动部分的典型题型。这类题的特点是变型多，过程复杂，可以与电磁学、能量等部分结合起来。所以，归纳几种理想模型，有助于加深对碰撞问题的理解。所以，本文对碰撞问题的概念、分类、解题思路做了归纳，并且重点分析了四种理想模型的原理与应用。
参 考 文 献
[1] 王泽昊.碰撞过程中的动量守恒和能量损失研究[J].现代商贸工业，2019，40（10）：192-194.
[2] 石晓兰，王延楠，刘世洪.在科学探究中提升科学思维——以“探究碰撞中的不变量”为例[J].物理通报，2019（07）：31-34.
[3] 魏子昂.高中物理解题中融入数学知识的分析[J].物理通报，2018（05）：125-127.
[4] 庞延理.巧解一维弹性碰撞[J].湖南中学物理，2019，34（06）：89-90+96.
[5] 董静雨.完全非弹性碰撞中的动能损失[J].物理通报，2018（07）：44-45.
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