一种汽车自动化流水装配模型
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摘 要：就2018年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛D题“汽车总装线的配置问题”为背景，针对该问题提出了一种汽车自动化流水装配模型，并结合启发式算法，获得了符合条件且较好的可行解。
关键词：线性规划 LINGO 启发式算法
中图分类号：TH138 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）12（a）-0106-02
目前，汽车装配的工艺流程均由机器自动实现，汽车生产公司会依据市场需求以及销量情况确定生产的汽车类型。由于工艺流程的制约和质量控制以及成本考虑，汽车在装配时需要对车辆进行多种要求，例如品牌的顺序和数量、配置、驱动、动力、颜色切换等。
2018年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛D题“汽车总装线的配置问题”就是以工厂中汽车装配为背景提炼出来的，其宗旨是能够使用数学算法和模型设计出符合条件又合理的装配顺序。为了便于算法设计，题中对实际的生产过程进行了简化，例如装配的误差、装配效率等因素均默认完美。
1 问题梳理
题中设定某汽车公司生产由品牌A1和A2、配置（B1、B2、B3、B4、B5和B6）、动力分汽油和柴油、驱动含两驱和四驱、颜色（黑、白、蓝、黄、红、银、棕、灰、金）五种属性确定的汽车，且每天固定装配汽车460辆，其中白班、晚班各12h内分别装配230辆汽车。该公司的汽车装配流程主要分为两部分，即总装线和喷涂线。根据题中对总装和喷涂作业的多种要求，问题梳理如下：
影響生产成本的因素有：
（1）两批四驱汽车之间间隔的两驱的装配数量在5～9辆;
（2）两批柴油汽车之间间隔的汽油的装配数量在5～9辆;
（3）同一喷涂线上，黑色与其他颜色汽车之间的切换;
（4）同一品牌下，不同配置车辆之间的切换。
为了满足装配条件且降低生产成本，在装配时先将两批四驱之间的两驱汽车数量设定至少10辆;为控制黑色与其它颜色的切换次数，黑色汽车连续排列数量尽量接近70 辆;尽量保证每天晚班最后一批装配车辆可以与第二天白班第一批装配车辆一致，以此减少衔接;蓝色、黄色、红色安排在总装线的奇数位置，金色安排在偶数位置。
为了描述在位置i上汽车的五种属性，设影响因素为品牌a（i），驱动b（i），动力c（i），颜色d（i），配置e（i）。
其中，
为了保证黑色汽车能够连续排列，现作如下设定：
可以发现，在其它约束条件均满足时，通过控制以上四种情况出现的次数可以有效降低装配的生产成本。因此，本文将（1）、（2）、（3）和（4）造成的这四种代价总和作为此模型的目标函数，建立基础模型。
不同驱动的汽车异常间隔数量（5～9辆）的代价设第n1次发生两批四驱汽车之间间隔的两驱数量为5～9辆时相应代价为An1，则因素（1）造成的总代价为;设第n2次发生两批柴油汽车之间间隔的汽油数量为5～9辆时相应代价为Bn2，则因素（2）造成的总代价为;
（黑色与其它颜色切换时的代价设每次黑色汽车与其它颜色的汽车切换时相应代价为C，总切换次数为N1，则因素（3）造成的总代价为CN1，其中
（iv）不同配置车辆之间的切换代价
不同配置间切换对于生产成本的总代价为N2。假设不同配置切换一次所需的代价为E，第i位置上汽车配置为ej（i），则不同配置切换的总代价为
为了保证每天白班和晚班都是按照先A1后A2的品牌装配顺序，且装配当天两种品牌各一半数量的汽车，同时除黑色外对其它颜色的汽车喷涂要求需满足的前提下，现给出如下约束条件：
①四驱汽车连续装配数量不超过2辆，即：
设S1n为第n次发生两批四驱汽车之间间隔的两驱数量为5～9辆时这批两驱汽车的数量，则令
②柴油汽车连续装配数量不超过2辆，即：
设S2n为第n次发生两批柴油汽车之间间隔的汽油汽车的数量为5～9辆时这批汽油汽车的数量，则令
③因为蓝、黄、红三种颜色的喷涂只能在C1线上进行，金色的喷涂只能在C2线上，其他颜色的喷涂可以在任意一条喷涂线上进行.
另外，第i位置的汽车对喷涂线的选择为D（i），即：若d5（i）=1，d6（i）=1或d7（i）=1时，则D（i）=1，。若d8（i）=1，则D（i）=0，即
④假设连续排列的黑色汽车中的第一辆汽车为，由于黑色汽车要连续排列50～70辆，当i满足时，则有
且
此外，为了保证黑色与其他颜色间的总切换次数N1尽可能少，在安排黑色汽车装配顺序时采用品牌衔接、白晚班衔接、两天间衔接的模式。
⑤对不同类型的汽车，其数目需满足总量要求，即：
2 模型的求解与分析
运用LINGO软件，结合启发式算法，通过对题中附件数据进行运算分析，得到每天装配过程中的黑色与其它颜色切换次数的最小值为4次，不同配置之间切换次数最小值为15次。其中，7d里两批四驱之间两驱数量为5～9辆出现次数的较优值为4次，分别在9月19日和9月20日各出现了两次异常情况，两批柴油汽车之间出现汽油汽车数量为5～9辆出现次数的较优值为0次。
3 结语
本文中考虑颜色切换对于生产成本的影响时，该模型只考虑了黑色与其它颜色之间的切换代价，如果把模型推广到考虑黑色和其它颜色之间的切换与其它颜色之间的切换这两部分代价，模型的可靠性将进一步提高。此改进方案会在后续研究中进一步探讨。
参考文献
[1] 姜启源.数学模型[M].4版.北京：高等教育出版社，2011.
[2] 《运筹学》教材编写组.运筹学[M].3版.北京：清华大学出版社，2005.
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