数学文化对于学生数学核心素养的培养研究

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　　摘    要：随着教学方式的不断革新，学生核心素养的培养逐步成为教育的主要目的，将数学文化穿插于日常的数学教学中，是核心素养改革的本质要求。研究小组主要通过实验研究法，探索数学文化对于学生核心素养中“数学素养”的影响作用。数学文化主要分为“数学思想和思维方式”“数学史和数学家”“数学与人文的交叉”这三个方面。以常州市某中学的四个班级为例进行实践调研，探讨在运用数学文化的三个方面分别进行实验教学之后，学生数学素养水平发生的变化。研究发现，在课堂中渗透数学文化对于学生的数学素养有促进作用，学生在接触数学文化的过程中，培养了学习兴趣，改善了学习态度，提高了数学素养。
　　关键词：核心素养;数学文化;实验研究法;数学素养
　　中图分类号：G642                 文献标识码：A             文章编号：2095-7394（2019）06-0088-09
　　1    研究背景
　　随着教学方式的不断革新，传统的教学方式已经无法满足当代中小学的教学需要。在教学过程中强化核心素养的培养，是当前中小学教育发展的必然趋势。核心素养是指一个人应该具备的关键品格和能力，根据教育部提出的《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》精神，加强中小学生核心素养的培养，是顺应时代发展变革的重要举措。
　　2    研究意义
　　数学作为一门通过表象分析内在联系和规律的学科，目的是将“数学思维”提升到方法论层面，并将这一观念贯穿教育的始终，这一点恰恰是培养学生核心素养的关键一步。
　　数学学科不仅要包含本身所涵盖的学科教育内容，还需要将学科教育与其他知识相结合，相互补充，所以，对数学教育内容如果要进行基于“核心素养”的改革，就需要对数学学科的教育内容进行仔细地研究和分析，要找到能够运用“核心素养”理念改革的切入点。而数学文化作为数学中贯穿始终的知识，饱含数学的本质思想，因此，将数学文化穿插于日常的数学教学中，是“核心素养”改革的本质要求。
　　3   研究方法
　　研究小组通过实验研究法，探索数学文化对于学生核心素养中的“数学素养”有着怎样的影响。数学文化主要分为“数学思想、思维方式、方法”“数学史和数学家”“数学与人文的交叉”这三个方面。研究小组以常州市某中学的四个班级为例进行实践调研，探讨在运用数学文化的三个方面分别进行实验教学后，学生数学素养水平发生的變化。
　　在2016年公布的《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》中，将数学素养中最为核心的部分梳理成六个成分，称为数学核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这种分类能够较好地阐述数学素养的内涵，而且利于研究者测评和分析。研究小组因为时间和能力有限，在数学核心素养的六个成分中选取了数学抽象、直观想象和数学建模三个成分作为此次研究的测评要素。
　　4    研究过程
　　要判断数学文化对初中生数学素养水平的影响，需要了解被研究者在被有意识、有组织地渗透数学文化后，数学素养水平有了什么变化，是怎样变化的。本团队成员在研究地点见习，与被研究者有密切的接触和交流，能很好地理解他们的思想、情感，从而可以正确分析研究结果。
　　根据教学经验抽取课本中部分有代表性的蕴含数学文化的教学内容，将其分别进行课堂实践教学，通过实验法研究不同数学文化对学生数学素养不同方面的影响。
　　4.1  研究工具
　　为了更好地分析研究对象的数学素养水平，需要构建分析框架来衡量研究对象的数学抽象素养、直观想象素养和数学建模素养三方面的水平情况。本研究参考《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》（2016），构建了数学素养水平分析框架（见表1）。
　　4.2  研究对象
　　本研究的研究对象是常州市某中学八年级平均数学水平相近的四个班级，分别记为A、B、C、D。选取过程中，本团队告知了研究对象本研究的相关信息和意义，取得了学校师生们的同意。
　　4.3  研究过程
　　本研究采用实验研究法，一共分为四个阶段，第一个阶段主要通过作业分析、试题测评的整体情况来了解四个班级实验前的数学素养水平。接下来的三个阶段，每一个阶段都包含了课堂教学、课后测评和成绩分析这三个部分。本次研究的后三个阶段课堂教学内容分别是“勾股定理”“一元二次方程根与系数的关系”“特殊角的三角函数”，且都由三名团队成员亲自授课。
　　研究流程如图1。
　　5   研究结果与分析
　　5.1  实验前的数学素养水平测试
　　（1）在研究之前，本团队通过平时的观察、与任课老师的交流，对研究对象的数学情况有了一定的了解。为了更好地了解研究对象在数学抽象、直观想象和数学建模方面的水平情况，本团队在实验之前，根据数学素养的内涵和学生所学过的数学知识，选取了有关数学抽象素养，直观想象素养和数学建模素养的题编制了一份试卷，分别对四个班的同学进行测试。其中，涉及数学素养这三方面的题目各1道。测试结束后，结合测试结果、平时作业，我们对测试结果进行了分析。
　　（2）测试题
　　①测试题中涉及数学抽象的题目为：
　　如图2所示，已知某铁路桥长800 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45 s，整列火车完全在桥上的时间是35 s，求火车的速度和长度？ 　　分析前测结果，A班同学该题正确率为43.3%，能发现少许数量和图形的性质。B班同学该题正确率为46.7%，能掌握明显的数量关系或图形的规律。C班同学该题正确率为50.0%，能发现部分数量和图形的性质，掌握一些数量关系和图形的规律。D班同学该题正确率为40.0%，能发现少许数量和图形的性质。因此，可认为在实验前，A、B、C、D班同学的数学抽象素养水平分别处于水平1、1、2、1。
　　②测试题中涉及到直观想象的题目为：
　　如图3、图4所示，是由一些小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示在该位置的小正方体的个数。你能画出这個几何体的主视图和左视图吗？
　　分析前测结果，A班同学该题正确率为53.3%，能构建一些问题中的几何图形，但是不能把这些图形整合起来。B班同学该题正确率为43.3%，能少量构建问题中所蕴含的简单几何图形。C班同学该题正确率为50.0%，能在具体的数学情境中，借助一些图形性质发现数学规律和图形运动规律，但是不会具体运用这些规律。D班同学该题正确率为53.3%，能构建一些问题中的几何图形，但是不能把这些图形整合起来。因此，可认为在实验前，A、B、C、D班同学的直观想象素养水平分别处于水平2、1、2、2。
　　③测试题中涉及数学建模的题目为：
　　生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时候，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，请用数学模型模拟计算这一做法的正确性。当我们在雨中直线行走时，设雨速为常数，你觉得在雨中是快跑淋的雨多还是慢走淋的雨多呢？
　　分析前测结果，A班同学该题正确率为50.0%，能够在类似的实际情境中，对一些现实问题进行抽象。B班同学该题正确率为53.3%，能用简单的数学语言表达和解决简单的问题，但不能综合思考。C班同学该题正确率为46.7%，能够在熟悉的实际情境中，对少许现实问题进行抽象，用简单的数学语言表达和解决问题。D班同学该题正确率为53.3%，能够在类似的实际情境中，对一些现实问题进行抽象。因此，可认为在实验前，A、B、C、D班同学的直观想象素养水平分别处于水平2、2、2、1。
　　综合以上结果，得出实验前三名研究对象的数学素养水平情况如表2。
　　5.2  第一轮研究
　　5.2.1教学内容
　　“勾股定理”是初中数学几个重要定理之一，教师通过讲授“勾股定理”向学生渗透“数形结合、转化”的思想，以提高学生的数学素养。因此，教学中分别融入数学文化的三个方面，探究对学生数学素养的作用。将A班作为对照组进行传统教学，而在B、C、D三个班中分别采用以下的三种方法讲授“勾股定理”。
　　第一，介绍勾股定理中“勾股”的由来引出本课，在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。于是古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。所以，本节课所要学习的勾股定理是反映直角三角形三边关系的定理。
　　第二，介绍了毕达哥拉斯的故事引出勾股定理内容的探究。毕达哥拉斯有一次去朋友家做客，凝视脚下排列规则、美丽的方形地板，想到它们和“数”之间好像有什么关系，一块地板如果以它的对角线AB为边画一个正方形，这个正方形面积恰好等于两块地板的面积和。毕达哥拉斯感觉很神奇，就回家继续研究，从而发现了毕达哥拉斯定理，也就是我们今天所要学习的勾股定理。
　　第三，向学生介绍运用赵爽弦图证明勾股定理。早在公元3世纪，我国数学家赵爽就采用 “数形结合”的方法证明了勾股定理，即运用如图5赵爽弦图进行证明，它在数学史上有着非常重要的意义。
　　5.2.2课后测评
　　以下三个题目分别就数学抽象、直观想象、数学建模三个方面的数学素养进行“勾股定理”知识点的考察。
　　题目1.有一个如图6所示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60 cm;一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵。
　　（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注。
　　（2）求小动物爬行的最短路线长？
　　题目2.如图7，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？
　　题目3.如图8，长方体的底面边长为4 cm，宽为2 cm，高为5 cm。若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少cm？
　　5.2.3研究结果
　　分析课后测评结果，A班3个题目中正确作答的平均题目数为1.2个，可认为该班实验后的三种水平无明显变化。B班3个题目中正确作答的平均题目数为1.2个，C班3个题目中正确作答的平均题目数为1.4个，D班3个题目中正确作答的平均题目数为1.6个，可认为三个班实验后的三种水平有一定提升，其中主要是直观想象素养水平提升幅度较大，见表3。
　　5.3  第二轮研究
　　5.3.1教学内容
　　“一元二次方程与系数的关系”是初中代数的一个重要定理，通过定理讲授，向学生渗透“整体、转换”的思想，以进一步加深他们对一元二次方程的理解，提高其数学素养。因此，为了探究对数学素养的培养，分别采用以下三种教学方法讲授“一元二次方程根与系数的关系”。
　　第一，如图9所示，以黄金分割数的知识引出本课，通过要使雕塑的上下高度比等于下部与全身的高度比，并将该问题一般化，求出该高度比。在某一线段中进行未知数的设定，后根据比例关系列出一个一元二次方程，并根据问题的实际意义得出高度比以及探究根与系数的关系。 　　第二，穿插介绍了韦达的故事。法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为“韦达定理”。
　　第三，向同学介绍了一元二次方程根与系数的具体推导过程，从特殊的系数为1的一元二次函数的根与系数的关系，到一般的一元二次函数的关系的系列证明，来说明一元二次方程的根与系数的关系。
　　5.3.2课后测评
　　以下三个题目分别就数学抽象、直观想象、数学建模三个方面的数学素养进行“一元二次方程根与系数的关系”知识点的考察。
　　题目1.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元;如果一次性購买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元。按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元。请问她购买了多少件这种服装？
　　题目2.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具。
　　（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x>40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表4中。
　　（2）在（1）问条件下，若商场获得了10 000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
　　（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
　　题目3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
　　（1）若商场平均每天要赢利1 200元，每件衬衫应降价多少元？
　　（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
　　5.3.3研究结果
　　分析课后测评结果，A班3个题目中正确作答的平均题目数为1.8个，可认为该班实验后的三种水平无明显变化。B班3个题目中正确作答的平均题目数为1.9个，C班3个题目中正确作答的平均题目数为1.8个，D班3个题目中正确作答的平均题目数为2.0个，可认为三个班实验后的三种水平有一定提升，其中主要是数学建模素养水平提升幅度较大，见表5。
　　5.4  第三轮研究
　　5.4.1教学内容
　　“特殊角的三角函数”是初中数学的一个重要的基本初等函数，教师通过讲授“特殊角的三角函数”向学生渗透“数形结合特殊化”的思想，进一步扩充初中数学“数与代数”这条主线的学习，提高他们的数学素养。为探究数学素养的培养，分别采用以下三种教学方法讲授“特殊角的三角函数”。
　　第一，由三角学引出本课。西方对于三角函数的研究有专门的学科，称为三角学，三角学原意为三角测量，是以研究平面三角形和球面三角形地边与角的关系为基础的一门数学学科，三角学一度成为欧洲数学的主要内容，包括三角函数值表的编制、三角恒等式的建立和推导，目前，三角学已逐渐变成以三角函数为主要对象的学科。
　　第二，教学中穿插符号史，最早由雷基奥蒙坦纳斯正式提出sine （正弦）一词，而cosine（余弦）则为英国人根日尔首先使用，直到1626年，阿贝尔特·格洛徳推出了正弦与正切的简写三角符号：“sin”与“tan”。1675年奥屈特推出余弦简写“cos”，这些简写符号一直沿用至今。
　　第三，向学生介绍采用如图10单位圆证明三角函数的方法。
　　5.4.2课后测评
　　题目1.游客登山有两种方式：一种是如图11，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘座缆车到C，另一种是沿着盘山公路开车上山到C。已知在A处观测到C，得仰角∠CAD=31°，且A、B的水平距离AE=430 m，A、B的竖直距离BE=210 m，索道BC的坡度i=1∶1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，则山高CD为（ ）米（参考数据：tan31°≈0.9）。
　　5.4.3研究结果
　　分析课后测评结果，A班3个题目中正确作答的平均题目数为0.9个，可认为该班实验后的三种水平无明显变化。B班3个题目中正确作答的平均题目数为1.0个，C班3个题目中正确作答的平均题目数为1.3个，D班3个题目中正确作答的平均题目数为1.4个，可认为三个班实验后的三种水平有一定提升，其中主要是数学抽象素养水平提升幅度较大，见表6。
　　6    研究结论
　　本研究主要通过对四个班级的课堂教学、课后测评、成绩分析量化出的三种素养水平，来衡量这四个班级的数学素养水平的变化。
　　表7为实验前后四个班级测评成绩量化出的数学素养水平的情况。
　　根据实验结果可以发现，A班对照组在没有使用数学文化进行教学的情况下，数学素养没有发生变化。B班实验组在主要渗透数学文化中的“数学与人文的交叉”这一方面教学之后，综合水平有较小幅度的提升，主要为直观想象素养水平的增加，此方法对于数学素养的提升在短期内效果不大。C班实验组在主要渗透数学文化中的“数学史和数学家”这一方面教学之后，综合水平有一定提升，此方法激发了学生学习数学的热情，有助于学生长期的学习。D班实验组在主要渗透数学文化中的“数学思想、思维方式、方法”这一方面教学之后，综合水平有了很大的提升，学生的逻辑思维和解题能力有了显著的增强，该方法短期内的教学效果最佳。
　　从整个研究过程中可以看出：数学文化对个体的数学素养水平具有促进作用，三个研究班级的数学素养的水平都有一定程度的提高，数学文化在对数学抽象素养、直观想象素养和数学建模素养的促进作用上没有明显差别，这可能跟数学文化主要通过间接作用来影响数学素养有关。数学文化对于学生数学素养的直接作用主要是研究对象在接触数学文化的过程中，开阔了视野，增长了知识，锻炼了数学思维，这些数学文化知识使得研究对象在解决问题的过程中，得到了灵感和触发，从而能够顺利解决问题，提高了数学素养水平。数学文化的间接作用是研究对象在接触数学文化的过程中，学习的兴趣加强，学习数学的热情受到激发，学习态度更加端正，通过日积月累，这些学习习惯的改变，促进了研究对象数学素养的提高。
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　　责任编辑    祁秀春
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