基于小波分析的分数阶系统辨识

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　　摘  要：分数阶系统是整数阶系统的进一步发展，更适合于描述控制系统。提出了一种分步响应系统参数辨识的方法。该方法利用小波函数积分运算矩阵将分数阶微分系统方程转化为代数方程，用包含小波积分运算矩阵的方程表示待辨识系统的输出和输入。通过寻找最小值之间的区别实际的输出部分系统和识别系统的输出，获得最优解，分数微分方程系统的参数识别问题转化为寻找最优解的问题。该方法可以同时识别分数阶系统的系数和阶数。此外，该方法避免了直接对输入和输出数据微分的复杂计算，简化了输入和输出信号。
　　关键词：分数阶系统;参数辨识;运算矩阵;分数阶微积分
　　中图分类号：N945.1 文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2020）10-0005-04
　　Abstract： Fractional order system is the further development of integer order system， which is more suitable for describing control system. A method for parameter identification of step-by-step response system is proposed. In this method， the fractional differential system equation is transformed into an algebraic equation by using the wavelet function integral operation matrix， and the output and input of the system to be identified are represented by the equation including the wavelet integral operation matrix. By finding the difference between the minimum value， the actual output part of the system and the output of the identification system， the optimal solution is obtained， and the parameter identification problem of the fractional differential equation system is transformed into the problem of finding the optimal solution. This method can identify the coefficients and orders of fractional order systems at the same time. In addition， this method avoids the complex calculation of the differential of input and output data directly， and simplifies the input and output signals.
　　Keywords： fractional order system; parameter identification; operation matrix; fractional calculus
　　1 概述
　　分数阶系统是基于分数微积分理论建立的数学模型。分数阶微积分以加权的形式考虑了函数的全局信息，因此在很多方面分数阶系统可以更准确地描述实际系统的动态响应。特别是对于一些实际的复杂系统，分数阶微积分方程建模的应用比整数阶系统模型更精确。例如，在军事、物理、通信、电子、计算机等复杂的比例系统中，分数系统可以提供更完善的数学模型，以考虑系统中不可忽视的分形现象。然而，分数系统的辨识和求解方法一直是数学家们努力研究的主要课题。分数阶微积分的早期阶段出现的发展和计算工具的落后分数微积分，虽然计算机技术发展迅速，应用分数阶微积分的场景也更加复杂，导致部分系统的解决方案，识别的复杂性，以及分数微分算子是外地算子，計算过程相对复杂。这些因素增加了求解和识别分数阶系统的难度。因此，有必要寻找一种有效的、简化的解决方案，辨识过程方法是促进分数阶系统发展的必要手段。
　　分数阶系统的研究主要包括两个方面：分数阶系统的求解和分数阶系统的辨识。分数阶微分方程的解及其数值解是分数阶系统分析的理论基础。对于分数阶微积分方程的解析解不仅难以获得，而且在实际应用中意义也不大，因此数学家们给出了自己求解数值解的方法。首先，研究了具体分式微积分方程的解。例如，Wyss W[1]给出了布莱克-斯科尔斯方程的一个完整解。Liu F、Anh v[2]等获得了求解分数阶佛克-普朗克方程的方法。对于Diethelm K[3]等人的Adams类分数阶微分方程，采用预测修正法得到分数阶微积分的数值解。对于分式扩散方程，即物理领域中的Wyss W，研究了特定条件下的分式扩散波动方程及其相关属性。Mainardi F等给出了复平面上格林函数的一般表达式，在卡普托分数阶微积分定义的基础上，求出分数阶扩散波动方程的解。此外，Benson D A等给出了分数阶水平散射方程基于分数阶稳定误差函数的解析解。
　　近年来，利用运算矩阵求解分数阶微积分方程的方法受到许多研究者的关注，如块脉冲函数运算矩阵、小波变换运算矩阵、帽函数运算矩阵等。
　　虽然在过去的几十年里，线性或非线性的分数阶微积分已经出现在许多领域，但是由于分数阶微积分的历史悠久，几乎不可能对分数阶系统进行建模。因此，基于系统输入和输出数据的参数辨识方法是建立分数阶系统模型的有效方法。 　　分数阶系统的参数辨识方法分为时域辨识和频域辨识两类。为了识别分数阶系统的时域，可以将其分为单输入单输出分数阶系统识别和多输入多输出分数阶系统识别两类。在SISO分数阶系统时域辨识的研究中，Rachid等[4]给出了基于方程误差和分数阶泊松滤波器输出误差的时域辨识方法。Malti等人[5]利用最优辅助变量法将简化修正时间系统方法推广到分数阶系统。Hartley等研究了时域连续有序分布系统的辨识方法。此外，正交基理论在控制系统建模和控制中的应用越来越受到重视。该方法的主要思想是通过一系列正交基函数的线性组合来表示传递函数，即用一组正交基函数来表示系统，该思想也被用来识别分数阶系统。Malti等将kautz型正交基扩展为分数阶模式，利用分数阶Kauthz函数正交基表示分数阶系统，得到基于输出误差的时域辨识方法。Aoun等人使用分数阶正交基函数Laguerre描述分数阶系统，给出了时域辨识方法。由于分数阶的非本地特点micro-integral运营商和长记忆特性，时域计算需要大量的历史数据，数据的大型和复杂的时域识别带来了很大的不便，分数阶系统的时域识别，以及频域识别可以避免困难，因此分数阶系统的频域识别也备受关注。
　　2 Haar小波与分数阶积分运算矩阵
　　2.1 分数阶微积分定义
　　RL分数阶微积分定义：
　　 （2-1）
　　其中？酌为阶次，？酌>0。
　　与Riemann-Liouville定义相比，Caputo定义更加方便描述分数阶微分方程的初值问题，Caputo定义：
　　（2-2）
　　其中，？酌>0，n-1<？酌<n。
　　Caputo定义的积分定义有一个重要性质：
　　 （2-3）
　　其中，t>0，n-1<？酌<n。
　　2.2 Haar小波分数阶积分运算矩阵
　　Haar小波为正交函数，定义：
　　（2-4）
　　其中，n=2j+k，0？燮k？燮2j，j？叟0，k，j∈Z。
　　此外，
　　（2-5）
　　任意属于区间L2[0，b]的函数f（t）都可以用Haar小波展开为：
　　其中Haar系数ri，i=0，1，2可以由下面的公式推导出：
　　对于式（2-6）的无限项和，在实际计算中，我们可以用有限项和来近似表示：
　　其中，N=2j，T代表矩阵的转置，RN=[r0，r1，...，rN-1]T为系数向量，HN（t）=[h0（t），h1（t），...，hN-1（t）]T为Haar函数向量。我们需要N个方程来求得系数向量。
　　定义N阶Haar矩阵为：
　　根据现有知识，我们可以根据块脉冲函数积分运算矩阵，自行推导出Haar小波积分运算矩阵，记P为？琢阶Haar小波积分运算矩阵，块脉冲？琢阶积分运算矩阵为F？琢，得到：
　　 [6]   （2-10）
　　至此我们就得到了Haar小波运算矩阵。
　　3 小波分析的多分辨率分析
　　多分辨率分析是指将函数表示为具有时间分辨率和频率分辨率的分量组合。也就是说，一个函数被映射到一系列嵌套的近似空间。一个空间通过两次连续的分解，可以逐步形成一组包含子空间的集合。空间分解符号如下：
　　 （3-1）
　　上式中Wn-1可以看作是低分辨率函数Vn-1去近似高分辨率函数Vn时，所丢失的细节部分，？茌为正交和的形式。每个空间都可以这样去分解，尺度函数构成近似V空间的基，小波函数构成细节W空间的基，对任意空间分解得：
　　 （3-2）
　　将之运用到空间L2（R）上，则空间中的任意函数f可以分解为：
　　其中，f0∈V0，wl∈Wl且0？燮l<0。
　　由前面的式（2-8）小波变换近似得出，信号可以近似分解为：
　　（3-4）
　　小波变换后，将信号f（t）的系数分为低频部分和高频部分。通常，低频部分被认为是原信号的近似值，特别是在原信号有噪声的情况下，低频部分具有降噪效果。因此，在每一层中，低频系数只是这一层系数的一半。通过小波变换对输入和输出信号进行分解重构，将系统辨识的过程转化为小波系数的辨识。我们逐层抛弃高频分量的系数。即按比例减少N的值，系统辨识所涉及的数据量将减少2n倍，其中N为分解层数。这种思想既可以对信号进行降噪处理还可以加速分数阶系统的辨识。
　　为了在对小波系数重新采样时保证信号不失真，不能对信号进行分层。也就是说，N的值不能连续下降。根据对原始信号的频谱分析，在抛弃信号高频成分的小波系数时，需要保证新信号满足采样定理。如果N值太小，新信号就不能准确地表示原信号，识别结果也就没有意义。最终的层数由近似分量和原始信号的相关系数决定，一般不能小于98%。
　　4 分数阶系统辨识
　　对于一般初始状态为零的分数阶线性系统：
　　 （4-1）
　　其中f（t）和y（t）为系统的输入输出数据，b1，b2，b3为任意正数，且b1>b2>b3。
　　利用小波變换分解系统输入输出：
　　 （4-2）
　　 （4-3）
　　对等式（4-1）两边做b3次积分运算，并将式（4-2）、式（4-3）代入，得到：
　　（4-4）
　　即：
　　（4-5）
　　对于上式中的系数a3，a2，a1和阶次b3，b2，b1都是需要求解的，但是直接求解必然会碰到非线性优化问题，所以在这里先是假定分数阶微积分的阶次是已知的，再在这样的情况下去求解系数参数。 　　上式（4-5）经过整理的得到：
　　（4-6）
　　假设                           ，         ，
　　 ，那么式（4-6）可以简化为：
　　（4-7）
　　利用最小二乘法可以求得系数矩阵x的值，从而获得系数参数：
　　（4-8）
　　上面都是在假定阶次已知的情况下的，但是阶次并非一定是我们刚刚假定的，所以，我们需要让阶次在已定范围之类变化，通过比较系统输出和辨识出来的系统输出之间的误差，找到误差最小的一组解，完成辨识。
　　5 例证
　　5.1 对理想状态下的分数阶系统进行辨识。
　　对于系统：
　　（5-1）
　　令                                   ，在零状态下，我们对系统输入单位阶跃响应，得到输出响应，根据输入输出数据，进行辨识。在辨识过程中，我们对输入输出信号进行从长度为210到27的小波展开，然后看各组辨识误差，辨识误差以及辨识耗时如表1所示。
　　当系统响应信号长度为27时，用来辨识的数据和原始数据的对比，如下图1所示。
　　从表1中，我们可以看出成倍的增大低频频率虽然增大了辨识误差，但是仍然是可以接受的误差范围之类，而且系统辨识的耗时是可以看到降低了很多的，尤其是针对数据量非常庞大的情况下，小波分析的多分辨率特点非常实用。
　　5.2 对含有噪声的分数阶系统进行辨识
　　小波分析除了上面说到的可以加快系统辨识过程，还可以对含有噪声的系统进行降噪，具有很强的抗干扰能力，尤其是在实际的系统中，噪声参杂在输出信号中是难免的事，下面对含有噪声的信号进行辨识。
　　针对式（5-1）提出的系统，我们先对其输出信号进行加噪处理，然后用小波分析处理加噪后的信号，对降噪后得到的信号进行分数阶系统辨识，看降噪后的信号与原信号之间的误差以及未降噪信号与原信号之间的误差，两者进行比较，看小波分析降噪是否可行。
　　对输出信号添加40dB的高斯白噪声，对含有噪声的不同长度的输出数据进行系统辨识，得到的参数和耗时如表2所示。
　　对含有噪声的信号进行小波分解，对分解后的降噪信号进行分数阶系统辨识，辨识过程情况如表3所示。
　　在辨识经过小波分析降噪处理后的系统输出时，的确比降噪前的辨识更加精准。
　　6 结束语
　　文中提出一种基于小波分析的分数阶系统辨识方法。该方法通过对输入信号和输出信号的小波系数进行重采样，减小了输入信号和输出信号的数据量，提高了分数阶系统辨识的速度。通过比较不同小波频率辨识过程验证了小波分析多分辨率的可靠，通过比较含噪和不含噪的信号的辨识过程，说明了小波分析降噪的作用。
　　参考文献：
　　[1]Wyss W.The fractional Black-Scholes equation[J].Fractional Calculus & Applied Analysis， 2000，3（1）：51-61.
　　[2]Liu F， Anh V， Turner I. Numerical solution of the space fractional Fokker-Planck equation[J]. Journal of Computational & Applied Mathematics， 2004，166（1）：209-219.
　　[3]DIETHELM， FORD， N. J， et al. Algorithms for the fractional calculus： A selection of numerical methods[J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering， 2005，194（6）：743-773.
　　[4]MALTI， Rachid， VICTOR， et al. Advances in System Identification Using Fractional Models[J]. Journal of Computational & Nonlinear Dynamics， 2008，3（2）：764-786.
　　[5]Malti R， Aoun M， Oustaloup A. Synthesis of fractional Kautz-like basis with two periodically repeating complex conjugatemodes[C]//International Symposium on Control，2004.
　　[6]孟霄.基于運算矩阵的分数阶系统辨识及控制器参数整定[D]. 南京信息工程大学，2017.
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