“四能”及其培养

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　　孔凡哲
　　教育学博士，中南民族大学教育学院副院长、二级教授、博士生导师，中南民族大学教育硕士学位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全国高考数学命题专家，国家义务教育数学课程标准研制组核心成员，高中数学课程标准研制组成员，教育部中学教师专业标准研制组成员、义务教育质量监测专家、教育现代化县级示范区评估专家、哲学社会科学重大重点项目评审专家;主持完成国家、省部级以上科研项目12项;出版专著47部;先后获得教育部第七届高等学校科学研究（人文社会科学）优秀成果奖著作奖、教育部第四届全国教育科学优秀成果奖著作奖、教育部第五届全国教育科学优秀成果奖著作奖等奖项。
　　发现和提出数学问题的能力、分析和解决问题的能力，简称“四能”，是一种复合的数学能力。培养“四能”是新版《义务教育数学课程标准》的亮点之一。
　　在新版《义务教育数学课程标准》中，“四能”作为课程目标的一部分被明确提出。新中国成立以来，我国中小学数学教学大纲对数学课程目标的定位不断演变发展，而数学能力始终是其中的重要内容之一，提高学生的数学能力一直是數学教学的主要任务。
　　1963年颁布的《全日制小学算术教学大纲（草案）》首次明确将数学能力界定为“正确迅速地进行计算的能力，初步的逻辑推理能力和空间观念”“正确解答应用题的能力”。1992年《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》将能力界定为“具有进行整数、小数、分数四则计算的能力，培养初步的逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学的知识解决简单的实际问题”。《义务教育数学课程标准》（2011年版）将能力界定为“培养学生的抽象思维和推理能力，创新意识和实践能力”“发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”以及“应用意识和创新意识”，在总目标中明确“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。新版的《义务教育数学课程标准》，将能力界定为“获取数据和处理数据的能力”“思维能力、实践能力和创新意识”“应用数学解决实际问题的能力”“价值观念、必备品格、关键能力”“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析”“交流能力”“从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”“自主学习的能力”。从“三大能力”（即计算能力、初步的逻辑推理能力、初步的空间观念）到“六核”（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析），从“一能”（应用能力）到“两能”（分析问题和解决问题的能力）到“四能”（从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力），中国数学教育在继承中发展，在发展中创新。
　　一、“四能”的内涵及其关系
　　（一）含义
　　所谓“发现问题的能力”是指学生在数学学习和问题探究中有困惑，或在显而易见之中发现“问题”的能力。其核心是经过多方面、多层次、多角度的数学思维，从看似无关的表面现象中找到空间形式或数量关系方面的某些矛盾或联系。
　　所谓“提出数学问题”，就是把找到的矛盾或联系以数学问题的形态，用数学语言表达出来，简称“提出问题”。
　　发现问题与提出问题是一对相对独立又彼此关联的数学活动，即观察分析数学情景，形成问题意识→对问题信息收集整理、分析加工→形成问题表征→选择恰当的数学语言表达数学问题。其中，提出问题是把发现问题的内容用某种数学语言形式表达出来，也可以说，提出问题是发现问题的进一步升华。如果仅仅停留在发现问题，而尚未提出问题，认识的层次和高度就会缺失。
　　特别地，这里的“发现问题”不同于“科学发现”。科学发现旨在对未知事物或规律的揭示，包括事实的发现和理论的提出，它是科学活动的直接目标和科学进步的主要标志。对中小学生而言，发现问题更多地指发现了不曾学习过的新方法、新观点、新途径，知道了以前不曾知道的新内容。
　　学生自己发现和提出问题是创新的基础，学习发现问题、提出数学问题，就构成创新意识、创造能力培养的重要内容之一。
　　“分析与解决问题的能力”是指能理解问题的陈述材料，综合应用所学的数学内容（包括数学知识技能、思想方法、观念意识等）解决相应问题的能力。这里的问题不仅包括数学问题，还包括相关学科中的问题、社会中的相关现实问题。
　　发现与提出问题的能力、分析与解决问题的能力，其实是运算能力、推理能力、直观想象能力等多种数学基本能力的综合体现。
　　（二）关系
　　爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”分析与解决问题涉及的是已知，而发现与提出问题涉及的是未知。和分析与解决问题相比，发现与提出问题更重要，难度也更高。在发现问题的基础上提出问题，需要理论抽象与逻辑推理，需要精准的概括，即在错综复杂的事物中能抓住问题的核心，进行条理清晰的陈述，并给出解决问题的初步思路。提出问题的关键是能够认清问题、概括问题。提出好的问题，关键是要具备数学抽象、数学建模的能力。
　　发现与提出问题、分析与解决问题的综合能力，有时也称作问题解决能力。
　　二、如何培养“四能”
　　（一）利用“问题解决”整体培养发现与提出问题、分析与解决问题的能力
　　《义务教育数学课程标准》（2011年版）将“问题解决”作为总目标的一个方面，明确要求“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识，学会与他人合作交流，初步形成评价与反思的意识”。其核心是“培养发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力”，即问题解决能力。
　　新版《义务教育数学课程标准》和《普通高中数学课程标准》（2017年版）都明确提出，“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。 　　无论是义务教育阶段，还是高中阶段，发现与提出问题、分析与解决问题的能力培养，都需要整体规划，体现在概念的生成、法则公式的形成和定理的确认之中。
　　数学探究、数学建模、数学文化作为贯穿整个数学课程的重要活动，渗透或安排在数学课程的每个内容模块或专题中，既是与此能力培养的一个呼应，又是希望强调如何引导学生去发现问题、提出问题。在教学中，我们可以按照不同的层次进行。例如：可以改变结论的条件、结论，或是对结论推广;可以在不同维度之间类比，或者从一维到多维的推广;可以是带着任务的实验操作，也可以是针对某个问题进行数学建模活动;等等。教材编写、教案设计中必须关注问题的提出，为学生发现问题、提出问题留有空间。
　　特别地，问题驱动式教学是培养发现与提出问题、分析与解决问题的能力的有效途径。
　　问题驱动式教学实际上是将数学知识、技能、经验、思想、方法等新知的学习，融入一个有趣的问题解决的过程之中，通过“问题情境→建立模型→解释应用→拓展反思”的基本环节，诱发学生在有趣的、有个人意义的问题串之中，自觉地思考其中的问题，探索其“谜底”。随着“谜底”的揭晓，新概念、公式、法则、原理、观念、思维方法等新知自然“登场”，尔后在“解释应用”之中，新学习的内容得到巩固、强化。“拓展反思”则将新旧内容更好地融为一体。
　　（二）专项培养发现与提出问题的能力
　　培养学生发现与提出问题的能力，需要从质疑意识、问题意识培养、创设良好氛围与恰当的问题情境等方面开展。
　　1.引导学生敢于质疑，有理有据地质疑
　　创新始于问题，问题往往产生于质疑。质疑是探索知识、发现问题的开始，是获得真知的必要步骤。没有质疑就没有创新，没有反思就没有提高。如，两位数乘法的常规巩固练习中，教师出示了“比一比，看谁算得快”系列习题：即12×11，13×23，15×38，45×11，22×63。这些练习仅仅是为了强化熟练技巧而已，有简单重复之嫌。如果将这些习题修改为12×11、13×11，45×11、11×62，11×67、11×78的形式，并提出“计算并观察各式所得的结果，你能发现规律并尝试验证你的猜测吗？”的要求，这组练习题就变成了螺旋上升、呈梯度深化的精心安排。下面，我们针对这组题做具体分析。
　　从数学角度发现与提出问题：从12×11=132，13×11=143 中，学生似乎可以得出“乘积是三位数，百位都是1，十位数字是两个因数数字之和”的猜测。
　　分析与解决问题：当学生再分析45×11=495后，往往会修改自己的猜测。部分学生马上得出“两边一拉，中间一加”的猜测，即“将因数45的两位数字分开，中间放上这两个数字之和9，得到的数字495就是乘积”。同时，学生还可以用11×62（或者自编题目，如11×27）验证自己的发现，即先猜11×62是多少，即682，再用列竖式计算的方法验证自己的猜想。一旦尝试计算11×67、11×78，部分学生会发现，刚才的“规律”不总是成立，必须修改。经过一番思考、讨论，学生认识到：一个数和11相乘，如果不是11的那个因数的两个数位上的数字之和大于10，需要向百位进一，并把相加结果的个位数字写在两个因数之间，其他的规律不变。如，11×67，6、7数字之和为13，结果不是6135，而是737。
　　这种设计的真正意图在于，在巩固“两位数乘两位数”基础知识、基本技能的过程中，让学生经历发现與提出问题、分析与解决问题的过程，培养学生的“四能”。
　　2.培养学生的问题意识
　　所谓问题意识是指学生在认识活动中意识到一些难以解决的问题，并产生一种怀疑、困惑、探究的心理状态。这种状态可以驱使学生积极思维，不断提出问题和积极解决问题。
　　让学生认识到问题的存在，并有意识地培养学生的问题意识，是发现与提出问题能力培养的非常重要的一个方面。教师应当整合学习过程中可利用的“质疑点”，创设合适的学习时机，引导质疑，鼓励质疑，培养学生的问题意识。
　　3.设置恰当的问题情境，营造良好的氛围
　　数学研究从问题开始，而问题总是依托于某种数学情境，离开了数学情境，数学问题的产生就失去了肥沃的土壤。有效的数学情境能起到引趣、激疑、诱思的作用。
　　例如，某版本的数学课程标准实验教科书上有一幅彩图：一块绿茵茵的草地中间有一条小河，河上有一座小桥，草地上零星地分散着几棵小树，还有一些小白兔正在吃草，小白兔是一对一对（两只两只）在一起的，一共有6对。这段情境设计的目的在于导入“6对小白兔蕴含了乘法2×6”这一数学内容，但是，如果教学处理仅仅停留在情境的衬托物（绿茵茵的草地、小桥、小树、小河等吸引了学生的注意力，使得学生的注意力迟迟不能转移到小白兔上）上，教师的引导不能尽快步入“2×6”的正题上来，对这段教学内容的处理就是失败的。其实，这个情境可以处理为：你能发现什么问题？你能提出几个数学问题吗？你能分析解决大家提出的数学问题吗？
　　一般地，高质量的数学问题情境满足三个基本条件：首先，高质量的问题情境与学生的生活经验有关，适宜充当数学课程内容与学生已有经验之间的接口和桥梁。其次，能成为学生运用所学内容做出创新与发现的载体。第三，帮助学生完成从现实内容到数学内容的抽象或从数学内容到现实内容的建模。
　　（三）定向培养分析与解决问题的能力
　　培养分析与解决问题的能力，一直是我国数学教育的传统，需要融入义务教育数学课程教学的每个阶段。
　　解决问题的思维活动开始于问题情境，在分析问题的已知与未知条件，明确问题的意义和目的状态后，就进入了转换和寻求解决途径的阶段。所谓转换，即变换问题，把问题变换为自己的语言和易于解决的形式，寻求问题解决的途径并求得解答。它并不是简单利用已知信息，而是把各种信息进行加工和改造，通过对解决问题的各种可能途径的比较与筛选，确定出问题解决的方法并求得问题的解答。最后，还需要对解决问题的途径和问题的解答进行检验、反思，这个过程正是分析与解决问题的过程。提升分析与解决问题的能力，必须从提升审题能力、合理选择使用分析与解决问题的一些基本方法、提升数学建模能力、体验解决问题方法的多样性等多方面综合培养。
　　责任编辑  姜楚华
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