数形结合与初中数学
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作者: 曹庆格
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1008-925X(2011)06-0105-01
随着新课程改革全面展开，各门课程的教材都发生着巨大的改变。面对改头换面的数学新教材，我们发现章节顺序改变了，知识点重新整合了，书也变漂亮了，图形变多了。
以前的数学课程被分为“代数”和“几何”两本教材来讲授，而现在合二为一，且教学中几何图形所占的比重有所增加。“代数”主要研究数据的计算与处理，“几何”主要研究图形的位置、大小等特性，“数”和“形”是数学研究的两个侧面，它们相互渗透，互相转化，由数思形，以形思数，使得以代数法研究几何，以几何法研究代数成为可能。“数形结合”是初中数学的重要思想之一，也是学好数学的关键之一。若能把“数”与“形”很好的结合起来，那么一些看似复杂的问题会迎刃而解。掌握了此方法也会使解题手段从“单一”走向“灵活”，体会到数学之美，从而感叹数学之精妙。
数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。九年义务教育初中《数学教学大纲》把数学的精髓-数学思想方法纳入了基础知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举。数学思想方法即是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的指导作用。数形结合的思想方法是初中数学中的一种重要的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中两大基础概念，把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答，就是数形结合的思想方法。数形结合的思想方法能扬数之长，取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联壁合，相映生辉。
本文就初中数学中如何渗透与应用数形结合的思想方法谈谈个人的体会。
1 有理数内容体现的数形结合思想
数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的，实数的大小比较也是如此。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的。尽管我们学习的是有理数，但要时刻牢记它的形，即数轴上的点，通过渗透数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。相关内容的中考试题，应用数形结合的思想可顺利得以解决。
例1、根据a、b、c在数轴上的对应化简｜c｜-｜a+b｜+｜a-c｜+｜b+c｜
2 应用题内容隐含的数形结合思想
列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就是要根据题意画出相应的示意图，这里隐含着数形结合的思想方法。例如，九年义务教育教材《代数》第一册（上）的“4.4一元一次方程的应用”内容中的例3（行程问题）、例4（追击问题）、例5（劳动力调配问题）、例6（工程问题）、例7（浓度问题），教学中，教师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。
3 不等式内容蕴藏着数形结合思想
九年义务教育《代数》第一册（下）第六章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。相关内容的中考试题，也着重考察学生对数形结合思想方法的应用。
4 函数及其图象内容凸显了数形结合思想
函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点。同时又是“数形结合”的思想方法体现得最充分的一个章节。平面直角坐标系把“点”和“数”对应起来，使抽象的“数”与直观的“形”有了统一。开创了研究数学问题的新途径。而二次函数中抛物线和开口、对称轴、顶点与坐标轴交点更是与系数a、b、c关系密切。
初三教材中增加了新的一节内容《镶嵌》，看似几何图形的拼接问题，但是它的基础却是计算。由一种正多边形的内角和是否360的约数，否则不能镶嵌。而当两种或三种不同的正多边形镶嵌时，由于不同图形的内角的不同以及数量比的可变性，计算就更不可少，如两种正多边形镶嵌时，需要计算若干个两种不同的内角能否凑成360度，而三种正多边形镶嵌时，需计算是否符合是正多边形的边数。有了计算为基础，我们才能通过画图或拼图得到美丽的镶嵌图案。而且同一个计算结果，由于不同正多边形的位置不同，得到的图案可不一定相同。
“数以形而直观，形以数而入微”，我国数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论述。数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。教师应着重培养数形结合思想，强化学生数形两意识的渗透和能力培养，以提高数学素质。
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