基于MCS的PERT工期求解方法
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作者: 张秋月 辛 婷
摘要:网络计划本身具有不确定性, 只有在特定条件下才取某个定值，在许多情况下，估计项目活动时间是困难的。本文针对项目活动时间不确定的特征，结合MCS引入PERT解决项目工期的求解问题。
Abstract: The network plans are inherently uncertain, and only under certain conditions before taking a fixed value, in many cases, the estimated time for project activities is difficult. This time of uncertainty for the characteristics of project activities, combined with the introduction of PERT MCS duration of the project to solve the problem to solve.
关键词：PERT MCS 工期 分布
Key words: PERT MCS Duration Beta distribution
一、引言
进度控制是工程项目的三大控制目标之一，进度控制的成功与否会直接影响到另外两个目标的实现。然而影响工程建设进度的不利因素有很多, 如人为因素, 施工方法和技术因素, 设备、材料及构配件因素, 资金因素, 水文、地质与气象因素, 以及其它自然与社会环境等方面等不确定性因素。在网络计划的编制与实施过程中, 不能不充分考虑这众多的不确定性和可能存在的突发事件，若对它们不加强管理与监控, 会导致计划实施过程中对不确定性和突发事件产生的影响缺乏快速反应的能力，将导致工程项目工期延误，对工程造成极大的损失。本文引入基于蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation，简称MCS）的PERT技术解决项目工期的求解问题。
二、MCS
MCS又称随机模拟法或统计实验法，本质上属于离散事件系统仿真，就是在工程项目尚未进行之前通过仿真试验在计算机上预演实际工程系统的运行情况，属于预测研究的范畴[1, 2]，起源于早期的用几率近似概率的数学思想，是充分利用计算机计算能力的随机试验方法。其基本思想是：为网络计划中的各随机变量（本文主要考虑工序持续时间 ）构造概率模型，对概率模型进行抽样试验，并利用统计分析法对试验数据进行分析处理以获取问题的解。对应MCS的要点，实施应蒙特卡洛方法有以下三个主要的步骤 [3~5]：
1)建立概率模型，即对所研究的问题构造一个符合其特点的概率模型（随机事件，随机变量等），包括对确定性问题；
2)产生随机数序列，作为系统的抽样输入进行大量的数字模拟试验，得到大量的模拟试验值；
3)对模拟试验结果进行统计处理（计算频率、均值等特征值），给出所求问题的解和解的精度的估计。
三、MCS原理
设x1,x2,…，xn是相互独立的随机变量，且具有一定的概率分布，又y=f(x1,x2,…，xn)是满足某一特定关系的函数表达式。当对 xi进行随机抽样时，可以得到一个相应的yi，其中i=1,2,…，n。由中心极限定理，当独立抽样次数足够多时，y的概率分布呈现出正态分布。
对工程项目而言，MCS根据工序持续时间概率分布形式通过随机抽样的方法产生一组随机模拟持续时间值，以此作为计算用的基本数据，求得一次项目模拟的相关时间参数和关键路线信息。并根据求解精度的需要，对项目反复进行多次模拟，最终以多次模拟的统计值作为计算结果。蒙特卡洛仿真的一般流程见图1。
四、PERT的蒙特卡洛仿真模型
对工程项目而言， y=f(x1,x2,…，xn)数学模型中的因变量y可以看作为建设工程的工期T，自变量xi可以看作为PERT网络中的第i个活动的持续时间；函数f(X)可以看作为CPM网络计划的时间参数计算事件。PERT假设网络活动持续时间服从一定的概率分布，常见的概率分布有： 分布、三角分布、正态分布等。对随机变量X=(x1,x2,…，xn)T的进行随机抽样，得到一个网络计划方案，带入函数f(X)，进行CPM时间参数计算，求取建设工程的一次工期 。进行多次随机模拟，便得到建设工程项目工期的一组时间序列（T1,T2,…Tn）T，对该时间序列进行统计分析，便可以求得该建设工程项目PERT网络工期的分布。依据建设项目工期的临界值便可以求得该项目的完工概率。
五、统计分析
当抽样仿真N次后，得到建设工程工期时间序列（T1,T2,…Tn）T。针对该时间序列组成的集合，进行统计分析：计算均值T、标准差S。
对项目工期序列抽样样本进行排序，得出最大值Tmax和Tmin最小值 ，按分组组数确定组距d，然后，统计样本在每组中出现的频数Mi，绘制出总工期分布的直方图或者曲线图。
和经典PERT网络计划相比，结合MCS求解PERT网络方法的优点在于它提高了计算精度，与实际符合性较强；从其程序特点来看，程序结构比较简单，收敛的概率性和收敛速度与问题维数无关，算法适应性较强。此外，MCS克服了PERT的多条关键路径的不可计算性问题，引入关键度来衡量活动的关键性。其缺点主要表现在计算量大，耗用机时较多，但随着计算机硬件技术的发展，此缺点已经表现不明显。下面用实例说明此方法的应用过程。
六、实例应用
网络图及数据来源于文献[6]，见图2。
表1所示为一组活动的前导和每个活动的乐观估计时间，最可能时间和悲观估计时间，及其期望和方差。
仿真运行100000次，运行结果得出最长工期为121.11天，最短工期是63.03天，期望工期为92.01天，标准差为0.291。本例中施工工期的分组组距取为10天，完工概率曲线见图3。这样，若要知道某一完工概率所对应的施工工期，只需在图3的曲线中找到相应的点即可。从图中可以看出，项目在90天的完工概率是40.83%，而在100天时，工期保证率可达到81.68%。
另外应注意以下两个问题：
(1)应用蒙特卡洛仿真进行施工进度计划安排时，考虑了工序持续时间的随机因素，每次仿真得到的工期与关键路线都有所不同，需要采用合理的方法对多次仿真结果进行仿真分析，才能较好的描述施工进度计划的不确定性。
(2)工程施工进度计划或控制中，人们不仅关心总施工进度计划的完工概率有多大，同时也希望知道关键线路的分布情况，这样可以使施工管理人员预先把握工期的变化范围以及关键路线的可能变化趋势，为工程管理与决策提供更多的信息。
七、小结
本文针对项目工期的不确定性，着重分析了应用PERT结合蒙特卡洛仿真求解完工概率问题。
尽管在PERT的应用过程，考虑了不确定性对项目的影响，然而由于PERT基于的各种假定，使得使用这种方法算得的项目工期有所偏差，而且网络中的并行度越大，方差的误差越大，偏差也就越大。最后，求出项目的完工工期不是目的，还要归结到对工期进行控制，即对影响工期的各个因素进行控制，而PERT对影响因素的量化也比较复杂，这将为后人留下思索。
参考文献：
[1]王仁超,欧阳斌,褚春超.工程网络计划蒙特卡洛仿真研究[J].水利水电技术,2003-11,(11):63-66
[2]徐哲,冯允成.网络计划进度的风险分析[J].系统工程理论与实践.1998(4)：24-28
[3]傅廷亮.计算机模拟技术[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2001(12):50-55
[4]黄柯隶等.系统仿真技术[M].长沙:国防科技大学出版社,1998(10):32-50
[5]肖田元,张燕云,陈加栋.系统仿真导论[M].北京:清华大学出版社,2000(7):20-34
[6]邓亚平.基于网络计划技术的项目进度风险预警研究[D].武汉大学.硕士论文.2007.11:26-27
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