基于Copula-ES度量股票型基金投资组合风险

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　　【摘要】由于许多金融资产收益率的波动可能存在非对称性，本文通过对收益率采用GARCH或者EGARCH建模，对存在杠杠效应的金融资产采用EGARCH建模。并将Copula函数和Monte Carlo技术应用于融通深证100基金，计算得到其前十大重仓的股票及其投资组合的风险值VaR以及ES，结果表明，基于Copula-ES的风险度量方法可以为我国基金管理公司评估和管理市场风险，从而控制和减少资产损失提供参考。
　　
　　1.引言
　　近年来金融工具及其衍生物越来越多元化，其带来的不确定因素也越来越大，因而金融市场的风险也就越来越高。金融市场间的关系更是变得日趋复杂，更多的呈现出非线性、非对称和厚尾的特性，金融波动和危机的频繁出现使聚合风险管理和金融市场间相依关系分析成为国内外关注的焦点。
　　现阶段最常使用的风险度量指标是20世纪90年代J.P.Morgan和G30[1]集团提出的VaR（Value at Risk）方法，VaR旨在一定的置信水平下，估计金融资产或组合受市场因子波动影响，而在未来特定的一段时间内的最大可能损失。严格的说，VaR描述了在一定的目标期间内收益和损失的预期分布的分位数。如果c代表置信水平，VaR对应的是较低的尾部水平1-c。可表示为：
　　
　　其中，表示某事件的概率，表示资产或资产组合在持有期内的损失，c为置信度水平。在最近这些年VaR作为金融风险度量工具得到了广泛的应用，然而，研究发现VaR不具有次可加性和一致性的风险度量，后来针对这一问题，ACerbi等[2-3]提出了期望损失ES（expected shortfall）的定义。
　　假设R为持有期内资产或者资产组合的损益，并假设R的累积分布函数F（r）（CDF）是连续的，那么对于置信水平，VaR也可以用如下定义：
　　式中，表示R的分布在给定显著水平的下侧分位数。假设表示R的概率密度函数，那么置信水平为1-c下的ES可以定义为：
　　式中，为示性函数。ES实质上是将资产价值r乘以权重的从-到0的积分，这样它就把超过VaR水平的损失部分考虑进去了。从经济意义上讲，ES就是指当损失超过VaR时的平均损失。由于它同时具有了次可加性和一致性，是一个较好的风险度量工具。Rappoport（1993）[4]第一次在金融行业中用它来做风险管理的一个工具，后来ACerbi（1997）[3]等人证明了该方法是一个一致性的风险度量工具。
　　同时，通过引入Copula函数度量资产组合集成风险的方法已经越来越成熟。Schweizer和Sklar最早提出Copula函数的概念及其它的一些性质。后来Sklar指出了Copula函数可以把具有不同类型边缘分布函数连接起来，并且能抓住它在风险管理应用中的本质特征（例如：尖峰厚尾性）；Emberchts等第一次把该方法引入到金融类相关研究之中。许多研究学者在他们的基础上做了很多有意义的研究。例如：Breymann等人研究表明了学生t-Copula的经验拟合比高斯Copula优越很多；Ceske，Hemandez（1999）提出可以将Copula函数与MonteCarlo技术结合计算相关损失；MATTEIS对Archimedean Copula做了很好的总结。
　　在我国，Copula函数方法在金融上的应用才刚刚起步，且其中绝大多数文献做的是介绍性、引入性的研究。最早见的是张尧庭（2002）提出Copula函数在金融风险领域大有可为；史道济利用Copula函数研究外汇组合的相关性；司继文（2004，2005）分别将Copula函数应用于国内外的股票市场和期货市场；韦艳华、张世英（2004）将GARCH模型应用于Copula函数，来度量金融时间序列的自相关结构。前人的研究主要集中在利用Copula函数对股市或资产组合的相关性研究。而韦艳华（2004）利用GARCH模型拟合正态Copula函数的边缘分布，然后运用Monte Carlo仿真技术计算投资组合的VaR。
　　本文创新一是采用GARCH或者EGARCH模型来拟合t-Copula函数的边缘分布，克服了传统GARCH模型不能处理特定非对称金融时间序列的局限性。对此，本文也比较分析了单独使用GARCH下和本文采取的方法下的风险值，研究表明本文提出改进的思路对风险估计更为准确。改进二在于对于风险衡量的指标不是仅仅采用VaR，而是利用VaR与ES双监管的风险度量方法，克服了传统风险度量VaR的很多缺陷（不具有次可加性、正齐次性等）。最后通过度量我国股票型开放式基金的市场风险为出发点，运用Monte Carlo仿真技术计算投资组合的VaR以及ES，具有很强的实用价值。
　　2.GARCH或者EGARCH收益率分布模型
　　对于某一金融资产，投资者最想知道的是将来某个时刻该资产收益率的信息。由于金融资产收益率的尖峰厚尾性、条件异方差性、波动聚集性和杠杆效应等，普通的GARCH模型对对前三者能较好的刻画，但是对于杠杠效应GARCH模型不能刻画出，因此，本文对不存在杠杆效应的收益率序列采用GARCH模型拟合资产收益率的特征，对存在杠杠效应的收益率序列采用EGARC模型刻画。该模型是Glosten Jagannathan和Runkle在Engle提出自回归条件异方差（ARCH）模型和Bofloerselev提出的广义自回归条件异方差（GARCH）模型的基础上改进提出的，它考虑了坏消息和好消息对波动性不同的影响。
　　假设投资组合中有d种金融资产，对于资产i，直接根据最近的n期历史收益率数据（t=1，2，…，n）运用GARCH其中EAGCH模型中条件方差采用自然对数形式，意味着非负，且杠杠效应为指数型的。模型中引入了一个重要参数，若，说明信息作用非对称，存在杠杠效应。为第i个资产收益率序列；为的条件均值项；v是t分布的自由度。为待估参数；随机扰动项服从均值为0，方差为1的标准t分布。即：
　　它的形式使得GARCH或者EGARCH模型能够较好地描述收益率序列的各种特性（如条件异方差性、波动聚集性）。
　　假定利用观察资产收益率历史数据样本可以得到，在估计出参数后，可以得到下一时刻收益率的条件分布：
　　其中，是自由度为v的t分布函数，是到时刻t为止的信息集。利用Matlab可以很方便地由样本观测数据估计出GARCH模型的各个参数，从而由式（2）得到给定T时刻前信息集的条件概率分布。
　　3.Copula函数的参数估计
　　在资产分配、衍生品定价和风险管理等许多金融领域中，有关风险因素之间的相关性度量及其重要。许多文献中常采用多元正态函数，然而各种金融资产的收益率之间一般并不符合多元正态分布的假设，为此，本文使用Copula函数来解决这个问题。
　　由Sklar定理可知，对于一个具有边际分布函数为（）的金融资产的联合分布函数F，一定能找到一个Copula函数C，使得：
　　如果所有的边际分布函数都连续则从上式定义的Copula函数是唯一的。从上式可以计算得出Copula：
　　 其中，
　　文献表明，t-Copula能更好地刻画各个金融资产的尾部相关性，本文研究的是t-Copula连接函数分布。
　　其中，表示相关系数矩阵为R，自由度为v的维标准t分布函数，表示自由度为v的单变量标准t分布函数的反函数。Copula模型为：

　　参数v为t分布的自由度。为d维t-Copula分布，表示均值为0，方差为1，自由度参数为的正规化t分布函数，即：
　　式中是伽马函数。由于t-Copula的密度函数对任意维数都不是一个简单的形式，本文根据t-Copula函数形式使用matlab工具估计其参数，过程如下：
　　（1）把资产收益率数据通过概率积分变换转化为一致分布；
　　（2）用对数似然函数法估计学生t-Copula的参数：
　　此处的copula函数c为公式（4）给出的；
　　（3）令，此处是单变量累积标准正态分布函数；
　　4.利用模特卡罗模拟资产组合的VaR和ES
　　根据EMBRECHTS关于利用t-Copula函数模拟随机变量的方法，多次模拟资产组合资产收益率的随机扰动项。具体模拟步骤为：
　　（1）由上述估计出的随机扰动项的相关系数矩阵R，对其进行Cholesky分解。
　　（2）根据标准正态分布，模拟d个相互独立的随机变量，。
　　（3）产生与Y相互独立的变量e，服从分布。
　　（4）令。
　　（5）令，则x为服从自由度为v的t分布。
　　（6）计算得到。
　　（7）根据得到联合分布为，连接函数为的d维随机扰动项。
　　（8）根据EGARCH或GARCH模型，得到金融资产收益率的条件均值和条件方差，然后根据随机波动方程，得到资产组合的资产收益率向量。
　　（9）给定资产在投资组合中的权重，计算投资组合收益R的值。
　　（10）重复上述过程5000次，模拟得到其经验分布，容易求出VaR和ES的值。
　　5.实证研究
　　（1）数据的选取和边缘分布的估计
　　本文选取融通深证100基金2010年3月31日公布的前10大重仓股票作为观测样本，如表1所示。
　　本文采用从2004年7月1日至20010年3月31日共937个（对空缺数据已做处理）交易日的收盘价作为原始数据，计算出每只股票的对数收益率，并根据公式（1）、（2）估计出每只股票的边际分布，利用AIC准则、SC准则和杠杆系数检验可以得出万科A、苏宁电器、中兴通讯、格力电器、吉林敖东存在杠杠效应，适宜采用EGARCH模型建模（其余采用GARCH建模拟合效果更好），下面以第三、四只股票五粮液（000858）和苏宁电器（002024）为例，分析其边缘分布函数的估计和拟合效果的评价。参数估计结果见表2和3：
　　其中，表2、3中括号的数据表示相应t统计量的估计值。从表2、3中给出的K-S相伴概率可知，利用CML方法对原序列做概率积分变换后，序列服从[0，1]的均匀分布。由此可以说明本文提出的模型可以较好地描述相关资产的边缘分布。同样的方法检验了其他8只股票的边缘分布拟合效果，都说明了GARCH或者EGARCH模型能较好拟合各自的边缘分布，因此用本文的模型描述收益率序列的边缘分布是充分的。
　　（2）Copula函数参数估计和Monte Carlo模拟VaR和ES
　　此处为了对比分析采用EGARCH或GARCH拟合边缘分布与仅仅采用GARCH拟合的效果，根据上面估计得各个股票收益序列的边缘分布，利用文中第四部分的估计copula函数参数的方法，估计得出其t分布的自由度DOF=7.5848和各自的相关矩阵（表4、表5）。
　　由上述结果可知，仅仅采用GARCH拟合边缘分布使得各个资产之间的相关系数整体性的变小。从而可以推断出可能会导致风险的低估，从而对准确度量基金风险存在一定的影响。进一步的风险值比较分析可见表6、表7。
　　按照表1的投资比例，假设投资者处于t时刻，这里的t时刻指的是样本时间段的最后一天，即2010年3月31日，t时刻的投资组合价值为：
　　假设资产持有期从t时刻到t+1时刻，置信水平选择95%和99%进行估计。根据本文的Copula-GARCH（EGARCH）模型，运用t-Copula函数的模特卡罗模拟仿真模拟5000次，可以得出t+1时刻各个股票的收益率序列，进一步可以计算出t+1时刻各股票的损失序列，给定置信水平，容易得出t时刻到t+1时刻相应的投资组合VaR和ES值，表6、7分别给出了本文提出的采用EGARCH或GARCH拟合边缘分布和传统方法仅仅采用GARCH模型拟合的情况下各个股票和证券投资组合的VaR和ES值。
　　表6、表7清晰的显示本文所提出的方法对准确估计风险更进了一步，比较而言传统方法只使用GARCH模型拟合边缘分布导致了单个资产和资产组合的风险值都偏小。对于文中提出使用EGARCH模型拟合万科A、苏宁电器、中兴通讯、格力电器、吉林敖东，从表6与7中可以看出，VaR与ES的风险值都比其他个股风险值偏离程度更大，说明采用EGARCH模型针对特定（存在杠杠效应）金融序列拟合效果更好，风险估计更为准确。
　　单独分析表6可以看出，在投资额一定的情况下，基金的风险值要比单个资产进行投资的风险值小，可见该基金选择的各个股票之间的相关关系有较大差别，说明投资组合可以大大降低投资风险。从VaR和ES的风险值看，ES都大于VaR，说明ES比VaR度量风险更为保守，也说明了VaR在度量风险上存在计算风险值偏低的现象，这样对基金控制风险和减少资产损失极为不利，特别是当极端事件发生时，资产组合的风险值与实际值就会发生偏差。另外从VaR与ES的差值可出看出，置信水平越高，投资组合降低风险的程度也就越大，但是由于VaR不具有次可加性，从ES的差值能很明显看出。
　　6.结论
　　本文为了描述特定资产具有非对称性的特征，通过对资产收益率进行EGARCH建模，对不存在杠杠效应的资产仍使用传统的GARCH模型，这与Copula可以连接具有不同边际分布的函数的相关关系相符，同时考虑到VaR度量风险的不足，引入了ES一致性风险度量，通过t-Copula函数和Monte Carlo模拟计算出了证券投资组合的VaR以及ES的值。最后文章对融通深证100基金风险度量的实证研究可以看出，有的金融资产收益率序列可能存在杠杠效应；而且VaR的确存在低估风险的不足；同时也得出了风险值VaR或者ES在置信度越高，它们的差值越为明显，说明了本文Copula-EGARCH（GARCH）模型能较好地刻画投资组合二中不同资产间非正态非线性非对称的相关性。基于该模型的风险度量方法可以为我们基金管理公司评估和管理资产组合的市场风险，从而有利于公司控制和减少资产损失提供一定的参考作用。
　　
　　参考文献
　　[1]张尧庭.连接函数(Copula)技术与金融风险分析明[J].统计研究,2002(4):48-51.
　　[2]史道济,邱男.关于外汇组合风险相关性的分析[J].系统工程,2005,23(6):90-94.
　　[3]司继文,蒙坚玲,龚朴.国内外期货市场相关性研究田[J].华中科技大学学报,2004,21(1):16-19.
　　[4]韦艳华,张世英.金融市场的相关性分析Copula-GARCH模型及其应用[J].系统工程,2004(4):7-12.
　　
　　资助项目：国家自然科学基金项目（71071071，70871058）；教育部人文社会科学研究规划项目（09YJA790100）；清华大学经济管理学院中国保险与风险管理研究中心研究项目；江苏省高校哲学社会科学项目（09SJB790013）；南京财经大学科研基金项目资助（2010JG015）。

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