一类基于商业运作问题的最优化模型

来源:用户上传      作者: 张　静

　　[摘要] 通过建立数学模型研究商场现象、进行商业决策是现代市场经济领域的常用手段。本文研究了一类商业运作问题，建立了最优化模型。对模型进行的灵敏性分析表明，该模型具有良好的适用性，可以作为决策的依据。同时，建模方法具有推广借鉴价值。
　　[关键词] 数学模型 非线性最优化 线性规划 灵敏性分析
　　
　　利用数学模型研究商场现象、进行商业决策是现代市场经济领域的常用手段。本文旨在研究一类商业运作问题，建立了非线性最优化模型。该问题表现出错综复杂的商业利益关系，其原始提法可以参见，现将其整理重述如下:
　　某家地方日报最近被一家大型媒体集团收购。报纸现在的零售价是1.5美元每周，发行量为80000份。报纸的广告价格是250美元每页，现在售出350页每周(即50页每天）。新的管理方正在寻求提高利润的方法。据估计，报纸的订阅价格提高10美分每周，会导致订户数下降5000。报纸广告价格提高100美元每页，会导致每周约50页广告的损失。广告的损失又会影响发行量，因为人们买报纸的一个原因就是为了看广告。据估计，每周损失50页广告会使发行量减少1000份。如何确定报纸价格和广告价格以使利润最大？
　　现在，在报纸上登广告的广告商可以直接将广告邮寄给他的客户。直接邮寄的花费相当于500美元每页的报纸的广告费用。这一情况会对上面所制定的价格策略产生怎样的影响？于是，报纸管理方决定广告价位的提高不超出400美元每页的价格。此时，如何确定报纸价格和广告价格以使利润最大？
　　对上述报纸问题考虑经营开支。现在每周的经营开支包括为:80000美元付给编辑部门(新闻、特写、编辑），30000美元付给销售部门(广告），30000美元付给发行部门，60000美元为固定消耗(抵押、公用事业股票、运转经营)。新的管理方正在考虑削减编辑部门的开支。据估计，报纸在最低40000美元的编辑预算的条件下可以维持经营。减少编辑预算可以节约经费，但会影响报纸的质量。根据在其他市场的经验，每减少10%的编辑预算，会损失2%的订户和1%的广告费。管理方也在考虑提高销售的预算。最近，在一个类似的市场上另一家报纸的管理者将其广告销售预算提高了20%，结果多获得了15%的广告费。销售预算可以提高到最多50000美元每周，但总的经营开支不能超过现在的200000美元每周的水平。假设依然保持报纸价格为1.5美元每周，广告价格为250美元每页。如何确定编辑预算和销售预算以使利润最大？对每一约束的影子价格解释其实际涵义。再进一步地，假设编辑预算的削减在市场上产生了相当强烈的负面作用，减少10%的编辑预算导致报纸损失q倍的广告和2q倍的订户。确定最小的q值使得如果不减少编辑预算，报纸的盈利情况反而要好些。
　　上述叙述基本上模拟了实际商业问题，各方经济利益交织在一起。我们通过建立一个非线性最优化模型将这一问题给出圆满的解答。为此，以周为单位，先设出如下变量：p表示报纸价格（美元每份），a表示广告价格(美元每页），s表示广告销售量(页），c表示报纸发行量(份），R表示每周的总收益(美元）。显然，s=350+50(250-a)/100,c=80000+5000(1.5-p)/0.1+1000(s-350)/50,R=pc+as,这里p≥0，a≥0。我们问题转化为，求报纸价格p和广告价格a，以使每周的总收益R最大。这是一个多变量最优化问题。为此，令x=p，y=a和z=R，于是，问题的优化模型可以表示成:
　　maxz=x(80000+5000(1.5-x)/0.1+1000(50(250-y)/100)/50)+y(350+50(250-y)/100),
　　s.t.x≥0,y≥0。
　　可以通过Maple解决上述问题。问题的解是，x=1.53，y=459.71和z=229592.1。这意味着，模型建议维持报纸每周的价格1.5美元不变，但提高广告费用到450美元每页，在此前提下，每周的总收益大约为229600美元。
　　下面我们进行灵敏性分析。由假设，当报纸的订阅价格提高10美分每周时，导致订户数下降5000。通过计算，可以得到灵敏度为S(x,n)=-0.51，S(y,n)=+0.017和S(z,n)=-0.01，其中n表示下降的报纸订户数5000。这一结果表明，对于订量而言，报纸的最优价格是敏感的。当报纸广告价格提高100美元每页时，会导致每周约50页广告的损失。类似的计算，可以得到灵敏度为S(x,m)=+0.01，S(y,m)=-0.76和S(z,m)=-0.22，其中m表示损失的广告页数50。这一结果表明，对于广告页数而言，报纸的最优广告价格和最大收益是敏感的，但是，报纸的最优价格并非如此。如果广告价格增加10%，总收益就会下降2.2%。
　　为了防止广告销量从直接投递广告的竞争中受到损失，有理由建议广告的最优定价应低于450美元每页，尽管看上去450美元每页依然低于直接投递广告的相当花费500美元每页，但要知道原来的价格是250美元每页，提价过高并不利于吸引广告商，更何况尚无法鉴别报纸广告与直接投递广告两种形式那种更有效。下面就将讨论广告价格提高到不超过400美元每页的情况下所面临的形势。
　　依然采用刚才所设变量，目标函数也不变，但这里广告价格a≤400美元每页。这将是一个有约束的最优化问题，在此所采用的数学工具是Lagrange乘子法。优化模型可以表示成:
　　maxz=x(80000+5000(1.5-x)/0.+1000(50(250-y/)100)/50)+y(350+50(250-y)/100),
　　s.t.s≥0,0≤y≤400。
　　从上一问题的研究，可以看到最优解并不在可行域内。我们要逐一考察边界上的情况。首先，考察边界线g(x,y)=y=400。g的梯度是(0,1)，利用Maple进行计算，可得在该边界上收益的最优点是:x=1.54，y=400和最大收益是z=227811，此时，Lagrange乘子λ=59.65。同样地，在边界g(x,y)=y=0上，我们得到最优点是:x=1.575，y=0和最大收益z=124031；在边界g(x,y)=x=0上，我们得到最优点是:x=0，y=475和最大收益z=112813。因为当x充分大时，z<0，所以全局最优点在x=1.54，y=400取得，且最大收益是z=227811。我们希望广告收入不大于400美元每页，模型建议广告价格设定在400美元每页，而报纸价格每份大约增加5美分。此时，每周总的收益约为227800美元。这仅仅比上一问题的计划预期收益229600美元少2200美元，而且这一价格策略将保护潜在广告客户的损失。
　　下面再进行本模型的灵敏性分析。由假设，当报纸的订阅价格提高10美分每周时，导致订户数下降5000。通过计算，可以得到灵敏度为S(x,n)=-0.51和S(y,n)=0，其中n表示下降的报纸订户数5000。这一结果表明，对于订量而言，报纸的最优价格依然是敏感的。当报纸广告价格提高100美元每页时，会导致每周约50页广告的损失。可以通过类似的计算，可以得到灵敏度为S(x,m)=-0.01和S(y,m)=0，其中m表示损失的广告页数50。这一结果表明，对于广告页数而言，当广告价格增加时，决策变量不是敏感的。直觉告诉我们，这是由于我们将广告价格保持在400美元每页以内的结果。

　　下面讨论Lagrange乘子λ=59.65的涵义。它是每周总收益关于广告价格a的导数，当前的a=400美元每页。例如，如果广告价格在这一基础上每页提高10美元，那么总收益每周将增加596.5美元。另一方面，由于直接投递广告竞争的存在，可以粗略地认为，直接投递广告价格每1美元的下调，报纸将为此花费60美元。
　　针对报纸经营开支的管理，我们假设如下变量：s代表广告销售量(页），c代表报纸发行量(份)，E代表每周的编辑部门开支(美元），B代表每周的销售预算(美元），R代表每周的总收益(美元），C代表每周的支出成本(美元），P代表每周的利润。由假设，可以由如下关系式：
　　s=350+(0.01×350)(E-80000)/8000+(0.15×350)(B-30 000)/6000，c=80000+(0.02×80000)(E-80 000)/8000，R=1.5c+250s，C=E+B+90000，P=R-C，
　　其中40000≤E≤80000，30000≤B≤50000，C≤200000。我们的目标是使P最大。这是一个多变量优化问题，依然采用Lagrange乘子法进行研究。令x=E，y=B和z=P，于是，模型可以表示为:
　　maxz=1.5(80000+(0.02×80000)(x-80000)/8000)+250(350+(0.01×350)(x-80000)/8000+(0.15×350)(y-30000)/6000)-(x+y+90000)
　　s.t.40000≤x≤80000,30000≤y≤50000,x+y≤110000。
　　这里目标函数是线性的，而且z的梯度不为0。因此，不存在内部极值点。模型的约束条件也是线性的，于是，沿着可行域边界线上不存在极值点。因此，最大值点只可能在角点处取得。我们检验每一角点出的函数值，通过比较，可知最大值在(x,y)=(40000,50000)处取得，最大值为z=54875。这一结果表明，模型建议将编辑部门开支缩减到40000美元每周，增加广告预算至50000美元每周。这一决策将由现在周利润水平7500美元(即编辑部门开支为80000美元，广告预算30000美元时)大幅度提高为55000美元。
　　约束条件g1(x,y)=x=40000和g2(x,y)=y=50000是关键约束。它们的梯度向量分别是(1,0)和(0,1)，相应的Lagrange乘子方程是(dz/dx,dz/dy)=λ1(1,0)+λ2(0,1)。在最优点，我们有λ1=-0.59，λ2=1.1875。在其他等式都成立时，每当广告预算由50000增加到50001时，公司将净盈利约1.19美元。在其他等式都成立时，每当编辑部门支出由40000增加到40001时，公司将为此多支出约59美分。总的来说，如果广告预算增加1美元而编辑部门支出下降1美元，公司净收益将增加约1.19+0.59=1.78美元。广告预算的下界、编辑预算的上界和总预算的上界并不是关键约束。它们联合的影子价格是0。需要指出，决策变量的微小变动并不影响净收益。
　　模型解的可行域是被半平面x+y≤110000分割下的长方形:40000≤x≤80000，30000≤y≤50000。最优点是约束条件g1(x,y)=x=40000和g2(x,y)=y=50000的交点。两个关键约束条件的影子价格非零。
　　通过计算可知，如果q<0.024或2.4%，那么削减编辑部门的预算至每周40000美元的水平是最佳的。如果q>0.024，那么就应削减编辑部门的预算至每周60000美元的水平。当前编辑部门的预算水平维持在80000美元并不利于公司成长。从几何上看，最优点在水平集z=c与可行域相交处。对于q<0.024，水平集曲线带有正斜率，对于q>0.024，水平集曲线带有负斜率。当c>0递增并向上移动时，仅可能在可行域的最上面的角点处取得最大值。
　　综上所述，我们建立了一类基于市场运作的最优化模型。它揭示了复杂的利益关系，给出了有效的决策方案。模型所使用的数学工具涉及非线性规划和线性规划。对于企业管理人员而言，总是试图通过对一些因素的控制使收益达到最大，或在达到某一预期目标的前提下使成本最低。这一应用可以建立一类共同的数学模型：有一个或多个可以控制的变量，它们通常受一些实际情况的限制，通过对这些变量的控制，从而使某个目标达到最优。本文所建立的最优模型具有借鉴意义，可以通过模型的建立思想处理其他问题。
　　
　　参考文献:
　　[1]Mark M Meerschaert. Mathematical Modeling [M]. San Diego: Academic Press, 2007
　　[2]R Fletcher. Practical methods of optimization, second edition [M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1987

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