基于最大熵的房地产投资组合模型

来源:用户上传      作者: 信恒占　赵　克

　　[摘要] 房地产投资组合模型多以方差或标准差作为风险度量指标。本文从分散风险的角度运用熵的概念,建立了房地产投资组合的熵优化模型,并给出通解,使对房地产投资组合模型的应用更加合理、客观。
　　[关键词] 投资组合方差熵风险度量
　　我国房地产投资始于上世纪90年代,并且成为固定资产投资的主要方向,也是资本流向的主要领域。房地产投资组合模型多以方差或标准差作为风险度量指标,均需计算协方差、相关系数等,在实际应用中存在一定的缺陷。规避风险的另一种方法是分散化。本文提出熵的概念作为房地产投资组合分散化的度量,熵越大意味着分散风险的能力越强;反之,分散风险的能力越弱。
　　
　　一、房地产投资组合的Markowitz模型
　　
　　美国经济学家、金融学家Markowitz.Harry在《资产组合选择》（Portfolio selection ,Journal of finance 1952 Vo1.7）一文中,第一次从风险资产的收益率与风险之间的关系出发,讨论了不确定经济系统中最优资产组合的选择问题,用数学中的均值度量投资者的预期收益,用方差度量资产的风险,用相关系数度量各项资产间的关系,建立资产组合的数学模型。根据Markowitz投资组合模型的假设和思路,经过适当变化可得到房地产投资组合的基本模型。
　　模型（以风险最小化为目标）
　　假设有n个房地产投资分项,可以建立以下模型:
　　Rp-K≥0且ωi≥0(i=1,2,……,n)。
　　其中,Ri表示第i项房地产投资的收益率;Rp表示此投资组合总收益率;ωi第i项投资的权重;σi表示第i项投资的标准差,即房地产投资各分项的风险;σp表示此房地产投资组合的标准差,即房地产投资组合的总风险;ρij表示第i项和第j项房地产投资收益间的相关系数;K表示房地产投资商可以接受的最小收益率,其值可由历史数据来确定。对此模型我们应用拉格朗日(Lagrange)乘数法求解。令则此模型的解析解:（1）其中
　　
　　二、熵的定义和性质
　　
　　1.熵的基本定义
　　熵的概念最初来源于热力学,后来发展到统计学和信息论等学科。熵是一种不确定性的定量化度量,考虑具体有n个结果的概率试验,并设这些结果各自具有离散概率Pi(i=1,2,…,n),则熵为
　　式中:Pi≥0(i=1,2,…，n)且
　　
　　2.熵的基本性质
　　(1)非负性:Sn(P1,P2,…，Pn)≥0;
　　(2)可加性:对于相互独立的状态，其熵的和就等于和的熵;
　　(3)极值性:当状态为等概率时,其熵值最大,即时,;
　　(4)凹凸性:Sn(P1,P2,…,Pn)是一个关于所有变量的对称凹函数。
　　现在,我们根据上面的介绍,引入最大熵优化模型。房地产投资商选择n个房地产分项进行投资,每个分项的投资比例为xi(i=1,2,…,n),由于各种原因,经过一个阶段最后得到的收益是不确定的。假设投资收益共有m种结果,πj为第j(j=1,2,…,m)种收益结果的概率,当第j(j=1,2,…,m)种收益结果出现时,第i(i=1,2,…,n)个投资分项的收益率为rij,其期望收益率，Rj为投资组合的收益率且,则期望收益率。从最大熵的意义来考虑,可以最大化如下的目标函数:约束条件为:xi≥0(i=1,2,…,n)。其中 故上述目标函数就等价于MaxS*,其中从而可建立均值-熵模型:
　　MaxS*s.t.xi≥0(i=1,2,…,n)
　　此模型的金融意义为:在固定收益率K的前提下,选择使风险最分散的房地产投资组合。我们利用熵的性质对模型求解,则有:AX=B,IX=I‘其中从而得到此模型的解:X=(A-I)-1(B-I’)（2）
　　
　　三、小结
　　
　　本文不同于Markowitz模型的均值方差模型,从分散风险的角度将熵用于房地产投资组合的分析中,建立了新的房地产投资组合模型,使对房地产投资组合模型的应用更加合理、客观。

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