基于动态规划的投资组合优化研究
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作者: 张梦乔
【摘要】马克维茨的均值―方差（M-V）理论是现代投资组合理论的主要基础。本文主要针对考虑静态单一投资期的缺陷，引入动态规划的最优解的方法来对静态单一投资期的马克维茨投资组合模型进行完善，并给出基于所建模型的实例分析。
【关键词】风险 收益 投资组合 动态规划
一、证券投资组合理论的发展
马克维茨（H.Markowitz）于20世纪50年代提出了均值―方差（M-V）单阶段投资组合理论，奠定了现代金融学的基础。在此之后，夏普（Sharpe）对证券投资进行了研究，将投资风险分为系统风险（不能通过投资的分散化加以消除的风险）和非系统风险（可以通过投资的分散化加以削弱，甚至消除的风险）。Sharpe和Lintner为代表的学者创立了资本资产定价模型（CAPM）。然而，罗尔（R.Roll）却在1977年对CAPM模型产生了重大质疑，与此同时，罗斯（S.Ross，1976）则提出了套利定价理论（APT），认为没有任何投资者可以通过套利创造财富。该模型是建立在比资本资产定价模型更少且更合理的假设之上，该理论以回报率形成的多指数模型为基础，认为具有相同因素敏感性的证券或投资组合必然要求相同的预期回报率，否则就会出现套利机会。
我国对于投资组合理论的研究主要是从1990年马克维茨（H.Markowitz）和夏普（Sharpe）等人获得诺贝尔经济学奖开始的。主要研究以下问题：证券组合投资有效边界的确定问题；组合投资最优化模型的建立；在传统的理论基础上，根据实际情况提出新的目标函数，或者引入新的约束条件。
我国的证券市场是一个发展中的市场，还不是完善的市场，投资者也不够成熟。虽然大多数投资者失败是因为市场体制不完善，市场规模较小等系统风险造成的，但是缺乏科学的投资策略和淡薄的风险意识是一个十分重要的原因。
二、马克维茨的证券投资组合模型的局限性及本文研究内容
马克维茨模型的核心是均值―方差理论，即以M-V准则为最优组合的标准。这一模型系统地构造了一套组合选择的方法，深刻地揭示了组合选择及资本市场定价的内在机理，成为现代投资组合理论的主要基础，它是通过数学规划的原则，偏重规范性分析而缺乏实证性分析。投资者无法知道证券分散到何种程度才能达到高收益，低风险。因此，夏普（Sharpe），林特纳（Linter）莫森（Mossin）分别在马克维茨投资组合理论的基础上提出了资本资产定价模型（CAPM）。该模型的缺陷还表现在：
该模型的计算量较大；其次，该模型依赖于较多不实际的假设，诸如交易费用和最小交易单位；再次，马克维茨模型考虑的仅仅是静态单一投资期问题，而实际证券市场上由于信息不对称和各种突发事件等因素，投资者为规避风险而随时买进卖出。
所有上述缺陷都使得该投资理论在实际投资活动中的有效性受到限制，本文正是对上述的第三个缺陷进行完善，考虑了运筹学中的动态规划模型，引入动态规划的最优解的方法来对静态单一投资期的马克维茨投资组合模型进行完善，并给出基于所建模型的实例分析，是对经典的资产组合理论的继承和发展。
三、动态规划在资产投资组合中的应用
1.动态规划应用于资产组合研究的可行性
动态规划把一个复杂的问题划分成多个子问题，通过归纳与递归找到答案。它没有标准的数学表达式和规则，而是需要具体问题具体分析，因而决定了其应用的广泛性。不管是单个决策阶段的投资组合研究还是多个决策阶段的投资组合，都可以使用动态规划方法来求解出最优投资组合。
一般金融资产具有如下特点：流动性；风险性；收益性；无限可分性；而上述特征决定了资产组合收益的特殊性，即在一个有效的市场中，某证券下一期的预期价格等于当期价格加上下一期预期报酬，即：。说明投资组合的各阶段的状态满足无后效性。即投资过程的过去历史只能通过当前的状态影响它的未来，因而满足构造动态规划模型的条件。
2.理论模型
假设有b个单位资源需要分配到n个投资项目中，当第k个投资项目取得单位投资时，其收益为，则该投资项目可以建模如下：
寻求一种投资方案，使得该投资者总收益最大。
根据题目要求，建立一个三级动态规划模型，列出三级规划的网格图如下：
由逆序求解法看上述网格图，最后一列表示分别不同投资额投资于项目三所获得的收益；第二列按照原则，求得投资于资产2的最优金额；同理逆推可得投资于项目1的最优金额。
最终的结果为投资于资产1,2,3的金额分别为4万，4万，0万。
4.对于标准单周期一般资产组合模型进行投资的评价
标准单周期一般投资组合模型虽然对静态的不同投资资产进行了动态化处理，但是其仍然存在如下一些缺陷：
（1）净收益矩阵有待完善：收益矩阵是根据历史经验所得，因此要求市场有很强的有效性，但是我国资本市场发展仍然不是很完善，市场有效性并不高；其次，该收益矩阵的投资金额为固定的等差数列，与实际投资情况不很符合，因此该方法缺乏一定的实用性；
（2）没有考虑投资风险：风险与收益在很大程度上是正方向变化的，正所谓高风险高收益。但是该方法中并没有考虑市场的投资风险，因而缺乏一定的投资可信性。市场上的资产符合高风险高收益，该方法可能使得投资者为追求高收益而承担过高的风险。
四、本文的不足之处
本文的不足之处在于：首先，和传统的资产组合理论一样，该模型依靠市场有效率的前提，对我国目前还不尽完善的金融市场现状，解释起来有点乏力；其次，该文主要是从数学推导，以及对各种经济现象的分析得出结论，没有考虑实际投资中各种其他因素的影响，会使得该模型在实际应用中的效果打折扣；再次，实际操作中，为了规避风险，投资者会进行多期连续且有关联的投资，因此该模型仍然有待于进一步发展。
参考文献
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[8]伍勇,刘春.动态规划模型在“组合投资”理论中的应用. 北京:机械工业学院学报[J].2008年第6期.
作者简介：张梦乔（1989-），女，陕西咸阳人，西南财经大学中国金融研究中心，研究方向：货币政策、资本市场。
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