离散数学实用性教学探讨

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　　摘要：离散数学一直是被确定为计算机专业最核心的基础课程。在传统的离散数学教学中，课程知识点泛化严重，课程体系碎片化，具体应用不突出。针对长期重理论而缺乏实用性的状况，结合教学实践，通过分层对比教学，以实用性为切入点，从丰富教学案例、采用任务驱动式的教学方法、多维度考核三个方面给出了离散数学教学的改革措施，旨在激发学生学习兴趣，提高学习实用性，进而能够有效地提高教学质量和学习效果。
　　关键词：离散数学 实用性 任务驱动式
　　中图分类号：O158  文献标识码：A  文章编号：1009—5349（2019）21—0179—02
　　离散数学是计算机专业的核心基础课程，其包含的主要内容有四大部分：数理逻辑、集合论、代数结构和图论。该课程具有知识点密集、概念多、理论性强、高度抽象且内容相互交織、背景理论涉及面广、知识结构松散和系统逻辑较差、课程体系的碎片化，断层化严重、具体应用不突出等特点。目前，离散数学教师要么是来自数学系，要么是来自计算机系。前者注重理论知识教学，后者对算法和实用算法比较关心，而且一般都只能做到基本理论教学，讲授大量的抽象理论，根本没太多时间考虑教学的实用性。这当然与课程内容本身的高度抽象性、内容的广大性和极强的理论性相关。而且我们看到的实际学习现象是：学生对离散数学没有兴趣，学习离散数学不知道有什么用，大量的理论学习找不到方法，宽泛的应用层面不知道用哪些方法，知识点没有建立体系，应用性也没有章法等问题。笔者结合教学实际，从以下三个方面给出离散数学教学的教学改革措施。
　　一、丰富教学案例
　　在传统的离散数学教学中，各部分内容逐章讲述，没有交叉，而且缺乏侧重点，教学目标的知识点泛化严重。本身教学的时间紧，任务重，讲授内容仅停留在课本，也就是一些基础理论，且背后的知识扩展和应用扩展无暇顾及。这种单层教学模式显然无法满足学生知识扩展与实践应用要求，更提不起学生的学习兴趣。因此，需要对离散数学课程的内容进行体系化层次化分解，并对各个部分的知识逐层深入、相互渗透、应用反馈，形成理论实践相结合的应用型课程教学模式。
　　为此，我们这里构建从基础层、提升层、应用层三个层面的教学体系，具体知识体系建立如下：一是逻辑，包括命题逻辑、谓词逻辑、推理——形式语言、自动机、智能算法——硬件设计、搜索引擎、图灵机应用;二是集合论，包括集合、函数、序列——运筹、密码、递推——最优调度、软件测试、公钥体系;三是代数，包括代数、群、域——置换群、李群、同构——加密算法、布尔代数、极小化;四是图论，包括图、路径、树匹配、着色、最小生成树——遍历、回溯、指令优化、寻优。
　　每一个内容应用层以若干个案例或者课题项目应用作为教学导向，所有内容围绕教学目标可以将各层内容交叉融合起来，并且结合实际操作利用学习任务做驱动，学习理解对应的理论课。任务可以通过学生自拟课题和老师指定课题，先演示范例，后学生自主操作，以完成度作为考核要求。例如，通过对最短路径算法实现校园交通系统的这一课题立项的研究，深化图论知识体系的构建;通过对二值逻辑映射实现数字逻辑电路设计的这一课题立项并具体做到设计楼道电灯等逻辑电路模拟，深化理解逻辑的知识体系;或者通过对完成任意数独九宫格的程序设计加深逻辑和编程的结合也能完成逻辑知识体系的构建。
　　另外，在离散数学教材上出现的经典问题很多，可以进行系统化，将相关知识体系丰富起来。如：旅行家问题，象棋子的遍历，博弈树，RSA密码体系，图的最短路径，等等，通过引入这些实验案例，在教学设计之初，先进行四大内容体系分类，并且组合打包，知识点满覆盖组合分派，然后有选择地教学和实验操作。这样可以极大地加深学生对各项理论内容的理解并能映射到丰富的应用背景中，即：学理论、知用处，并对案例和知识点在应用中发散理解深入钻研，借以反哺理论并加深加强，即：懂用处、知创新。例如在公钥密码学中，为其提供安全性保障的是欧拉定理、费马小定理等数论定理，对定理理解越透彻，对安全性理解越上高度。通过任务的完成，RSA密码体系的建立和破解难度性两个矛与盾的对立，更有助于学生掌握相关离散数学基本定义、理论和定理，并更好地理解各种算法的安全性与应用机制。例如：求最小生成树，求最短路径，求最优解，这些应用可以确定最优方案，可以确定地区间的最小连通成本，这些案例的理论支撑不是枯燥和不重要，而是强大和深刻。针对本课程实用性、工具性的特点，具体案例可以提升抽象知识的具体化讲述，进行道路规划课题立项研究就比较具体，但背后我们要做的教学目标却是哈夫曼树应用的特征这一理论背景。再比如：公安局的断案、逻辑谜题，派人方案合理性调试、赛车手的选定，合理答辩时间的排定，等等，无一不需要理论背景。
　　在做到了丰富的案例实验教学完成后，学生需要的知识体系和应用体系其实已经在里面了，离散数学要达到的知识体系内涵和应用性内涵其实已经建立起来了。
　　二、任务驱动式教学方法
　　任务驱动式教学是指在教学过程中通过任务为导向的一种学习方法。具体就是布置一系列成知识体系的、与课程内容紧密相关的任务让每位学生个人或分组主动参与，并且能完成理论和实践双教学目标的一种教学方式。其核心在于任务驱动，重点是使每位学生完成任务就是完成学习。任务有创新，学习就有创新，即：任务中学习，任务中创新，目标是掌握该门课程的实际理论知识和应用技能。离散数学的教学适用于任务驱动教学方法。理论作为离散数学本身已有知识点，教师可以少讲，前面提到的丰富的教学案例和衍生出的各项课题项目其实就已经提供了学生要做好的各项各层面的任务。这些任务本身是形式多样化的，无论是理论任务还是案例任务或者是课题任务，学生都可以自主选择感兴趣的，教师也要做好教学设计，将任务组合打包分类，可交叉可重复，但不要有大遗漏。并且，任务的教学目标是统一化的，也就是要达到一致的教学目标。 　　在任务驱动式的教学方法下，完成任务是主，教师指导是辅，两者互为契合。任务分三个层面：一是基础教学，就是传统教学，就是常规知识点;二是提升教学，这需要完成一定量的训练题和应用题并且有拓展知识体系;三是应用层，这是需要花大力气组队完成的自选或者教师制定的课题或项目。在此三项活动过程中，教师起到的是组织和监督的作用。其实这里就已经做到多维任务驱动式教学，每一项任务的完成只要达到了教学目标都是可以计入后期考核的。多维任务驱动式教学使教学任务的内容结构更加丰富，多任务也给学生增加任务自主选择权，任务分层，学生也分层，这就适合不同程度和类型的学生学习该门课程，做到因材施教，并提升动手能力团队配合能力和创新能力。
　　正是上节我们给出了丰富的教学案例，可以解析离散数学泛化的知识内涵。针对不同的学生，任务驱动式教学的关键是分配和打包不同类型的任务，即任务多维化。这些任务类型包括：任务类型1——课题项目任务，以小团队形式完成指定或者自己选定的课题或者项目论文为目的;任务类型2——总结性任务，对知识面和应用面的小总结，对离散数学的知识能较为全面的小总结，类似于文献综述，并能工具性运用离散数学知识解决问题;任务类型3——习题任务，以完成教材相关知识理论掌握程度巩固提升为目标的习题任务，即传统的课后习题任务。对于任务类型1的课题项目任务来说，课题需要组建2—4人团队，自主选择课题或项目，通過完成相关选题、项目形成对应结论论文或技术报告。在课题选择上，教师可以提供具体题目或者由学生自选自己感兴趣的课题，由教师审核，教师扮演组织、监督、引导者的角色。由于是学生有兴趣的课题，这能够充分发挥学生个人特长，调动学生主动性兴趣，参与更积极。如果学生觉得课题比较难的话，可以降低要求，阶段性的完成也可以，并且对于任务类型2或3来说，三者是并行完成的。
　　三、多维度考核体系
　　在考核方式上，传统的单一笔试考试的方式已经满足不了实用性教学需要，从课程本身特点来说，仅采用试卷形式考查已经不适用新的应用实践了。作为重应用的新教学模式，可以依据教学设计由教师根据分配学生各类任务完成情况设置权重因子，如任务类型1的课题和项目的完成度是考核的依据。
　　由于任务是分层次多维度的，每类任务权重分配可以由教学目标来敲定，任务组合包含的知识点范围由教学内容来敲定。因此，教师在设计之初，要对任务组合和完成的考核要求有一定的标准制定。例如：基础理论类任务类型3考核要求为必须完成项，如果学生选择闭卷能完成，可以通过考核。但也可以由学生选择开卷，前提是完成2、3任务中的一项论文或总结，即1+3或2+3的组合形式，能达到教学目标也可以通过考核。任务类型1和任务类型2选择与否可以充分体现学生的兴趣差异和学习动机的不同，并且完成度体现着学生的综合能力，其中课前的自主学习、课堂讲授与研讨、课后总结与练习作业等环节都可以作为参考量。
　　具体地，想挑战想创新有闯劲的主动型学生会选择任务类型1+2+3，而被动型喜欢接受和喜欢做知识总结的学生则倾向于选择任务类型2+3。由于任务类型3是传统的，也照顾到了部分学生喜欢闭卷考试的偏好，也可以保留传统考核体系，并且有任务2和3的多维度选择，能充分发挥学生主动性，调动兴趣，理论实践结合。多维度考核方式需要由任课教师逐一量化计算课程目标达成度，形成统一标准，并让学生在教学之初充分理解。总之，需要在完成教学目标和符合教学大纲设计这个大层面上适度改革，切实地把实用性教学考核体系构建起来。
　　四、结语
　　总之，丰富的案例实验教学建立了完整的离散数学知识体系内涵，以点带面的专题课题研究形式把实用性教学落到实处，在不改变教学目标基础上，加上多维度考核体系可以真正地把离散数学实用性教学系统构建起来。
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　　责任编辑：赵慧敏
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