改进的键基正交各向异性近场动力学模型

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　　摘要：针对经典的键基近场动力学（bond based peridynamic， BPD）模型受固定泊松比限制的问题，提出一种改进BPD模型。该模型可解除泊松比限制，并可用于分析正交各向异性单向板的变形和裂纹扩展问题。在改进BPD模型中，每根键受到轴向和横向成对力的作用，额外增加的节点转动可消除由横向力引起的附加弯矩，从而确保该模型满足角动量守恒条件。仿真结果验证所提出的改进BPD模型的精度，并展示其预测碳纤维复合材料变形和裂纹扩展的能力。
　　关键词：
　　近场动力学; 键基; 剪切影响系数; 泊松比; 颗粒旋转; 角动量守恒; 正交各向异性; 碳纤维复合材料
　　中图分类号：TB334;TP391.99
　　文献标志码：B
　　An improved bond based peridynamic orthotropic model
　　ZHENG Guojun， CHEN Rui， SHEN Guozhe， XIA Yang
　　（School of Vehicle Engineering， Dalian University of Technology， Dalian 116024， Liaoning， China）
　　Abstract：
　　As to the problem that the classical bond based peridynamic（BPD） model is limited by the fixed Poisson′s ratio， an improved BPD model is proposed， which removes the limitation of Poisson′s ratio and can be used to analyze the deformation and crack propagation of orthotropic anisotropic plates. In the improved BPD model， each bond is subjected to axial and transverse forces in pairs， and the additional rotation of particles can eliminate the additional bending momentum caused by transverse forces， so that the balance of angular momentum can be ensured. The simulation results can verify the accuracy of the improved BPD model， and show its ability to predict the deformation and crack propagation in carbon fiber composite material.
　　Key words：
　　peridynamic; bond based; shear influence coefficient; Poisson′s ratio; particle rotation; angular momentum balance; orthotropic; carbon fiber composite material
　　引 言
　　復合材料是指由2种或者2种以上不同性质的材料通过物理或者化学的方法结合而成的具有新性能的材料。复合材料具有质量轻、强度高、抗疲劳性好等优点[1]，在航空航天、汽车、风力发电、医疗器械等领域的应用越来越广泛，如空中客车A380、波音787等客机的主要结构（整体机身、机翼和舱门等）都采用复合材料[2]。随着复合材料应用领域越来越广泛，其载荷环境日益复杂，损伤失效问题日益突出，对其失效模式的分析也成为工程中的重点和难点。
　　传统的连续介质理论具有微分形式的运动方程，在面对损伤破坏等不连续问题时，由于位移场的不连续性，在不连续的区域难以得到位移场的偏微分方程，因此传统连续介质理论在求解不连续问题时会遇到困难[3 4]。目前，针对复合材料结构损伤等问题主要采用有限元法，但是有限元法也是以连续介质理论为基础的，因此使用有限元法求解损伤失效问题也极具挑战性，需要借助一些附加的失效准则重新划分网格并进行求解[5 7]，而且损伤只能沿某些特定的方向传播。为解决传统有限元在求解损伤裂纹时的缺陷，有学者提出扩展有限元和非连续有限元等思想[8 14]，该思想主要使用独立于网格划分的思想解决裂纹扩展问题，不需要对结构内部存在的裂纹等缺陷进行网格划分。扩展有限元法可提高模型描述复杂位移场的能力，避免网格的重新划分，解决大量的断裂问题。但是，在解决不连续问题时，扩展有限元法仍然需要额外的断裂准则。COX等[15]提出分子动力学理论解决传统有限元存在的缺陷，但却增大计算的消耗。KRNER等[16]根据原子间的作用力，考虑长程力的影响，提出非局部连续理论，该理论可不区分不连续性，但由于裂纹的存在，其位移导数仍然是不存在的。
　　为解决传统数值方法在求解不连续问题时存在的困难，SILLING[17]和SILLING等[18]提出近场动力学理论（peridynamic，PD），基于非局部思想，通过求解空间积分方程描述物质的力学行为。
　　键基近场动力学（bond based PD，BPD）模型使用成对力函数描述节点间的相互作用，因此对于各向同性材料来说，键力仅与两个节点间的相对伸长率有关，在平面应力状态下泊松比被限制为1/3，在平面应变状态下泊松比被限制为1/4[19]。GERSTLE等[20]通过引入杆单元提出微极模型，通过增加成对力矩模拟具有不同泊松比的线弹性材料，这样可解除泊松比的限制，但是未考虑键的转动，因此不满足角动量守恒。REN等[21]提出考虑剪切变形的线弹性固体PD模型，从总变形中减去刚体的转动部分，但是未具体处理泊松比的限制。GHAJARI等[22]引入勒让德多项式，提出正交各向异性材料的连续微模量函数模型，能够预测复杂的断裂现象，但是其泊松比仍然是受限制的。ZHU等[23]考虑键转动的影响，重构近场动力学键基模型，消除泊松比的限制。ZHOU等[24]提出共轭键线弹性模型，键能不仅与其法向的伸长有关，也与一对共轭键的旋转角度有关，从而克服泊松比的限制。SILLING等[25]提出基于状态的PD模型，通过引入节点的变形状态，彻底解除泊松比的限制，但其计算过程比较复杂。 　　对于正交各向异性材料，虽然有些PD模型可解除泊松比情况限制，但未考虑键转动的影响，不满足角动量守恒，在剪切模拟时误差较大。基于状态的PD模型虽然可有效解除泊松比的限制，但是基于状态的PD模型计算过程比基于键的PD模型更复杂，应用更不便。
　　本文基于Timoshenko梁理论提出一种改进的键基梁模型，考虑节点的旋转效应和剪切变形，不仅可以解除泊松比的限制，也可以使横向刚度计算更加精确。
　　1 BPD基础理论
　　在经典的BPD模型中，PD模型的参考构型和当前构型[17]见图1。参考构型中某节点在位置xi的动力学方程可以写为
　　式中：ρ为质量密度;u为位移矢量场;f为成对力函数，表示节点xj施加到节点xi上的每体积的力;V为节点xi所占据的体积;b为体力矢量场;Ηxi为节点xi的作用域。
　　为满足线动量和角动量守恒，对参考构型中的任意相对位置矢量ξ和相对位移矢量η有
　　f（η，ξ）=-f（-η，-ξ），η，ξ
　　（η+ξ）×f（η，ξ）=0，η，ξ
　　（2）
　　其中：
　　ξ=xj-xi
　　η=u（xj，t）-u（xi，t）
　　（3）
　　根据式（2）和（3）可知，两个节点彼此施加的力大小相等、方向相反，且与当前构型中的相对位置矢量平行。
　　在微弹性材料模型中，成对力函数可以由标量微势能函数w（η，ξ）推导[17]，即
　　f（η，ξ，t）=w（η，ξ）η
　　（4）
　　单个键力与相对伸长率之间的线性关系可以根据线微弹性理论假设和微势能函数推导，即
　　w（η，ξ）=c（η，ξ）s2ξ/2（5）
　　式中：c（η，ξ）为键刚度常数;s为键的伸长;ξ为ξ的模。s的定义为
　　s=（ξ+η-ξ）/ξ
　　（6）
　　对于微弹性材料来说，给定节点xi处的应变能密度可通过对作用域内的微势能函数w（η，ξ）积分得到，即
　　WPD（xi）=12∫Ηxiw（η，ξ）dVxj
　　（7）
　　式中的1/2是因为每个节点的键能只有总键能的1/2。相同载荷作用下PD得到的应变能密度应等于经典弹性力学理论得到的应变能密度，即
　　WPD（xi）=WCL（xi）
　　（8）
　　从而可以得到键刚度系数与弹性模量之间的关系。
　　2 改进的BPD模型
　　2.1 求解键常数
　　
　　对于改进的BPD模型，由节点xi和在其近场区域Ηxi内的相邻点xj组成PD键，见图2。
　　与经典的BPD模型相同，假设键的轴向力只与键的拉伸变形和轴向力密度有关，即
　　f^xij=-f^xji=cNs
　　（9）
　　式中：f^xij为在近场区域Ηxi内的节点xj施加在节点xi上的轴向力密度;f^xji为在近场区域Ηxj内的节点xi施加在节点xj上的轴向力密度;cN为要求解的PD参数。
　　考虑用键的横向力消除泊松比的限制。键的横向力附着在两个节点上，会出現附加的弯矩，必须对其进行消除以满足角动量守恒。类似于有限元模型中的梁单元，可通过增加两个节点的旋转自由度抵消由横向力引起的弯矩。键的横向位移、力和节点的旋转角度及弯矩关系见图2。与轴向力相同，在变形构型上建立横向力和弯矩。假设PD键是具有长度ζ和高度Δ的梁模型，高度相对于长度的比值Δ/ζ没有小到足以忽略剪切变形的影响。Timoshenko梁理论可描述剪切变形和转动惯量对各种细长梁的影响。[26]剪切影响系数可解释剪切应力的变化，适于描述短梁的剪切变形性能。[27]在局部坐标系中，基于Timoshenko梁理论的有限元方程为
　　p=Kd
　　（10）
　　式中：p为附着在材料节点xi和xj之间的键的横向力和弯矩分量;d为键的位移分量;K为Timoshenko梁单元的局部刚度矩阵[28 29]。p、d和K分别定义为
　　p=[fixfiymizfjxfjymjz]T（11）
　　d=[uiviθiujvjθj]T
　　（12）
　　K=EAξ00-EAξ00012EI（1+b）ξ36EI（1+b）ξ20-12EI（1+b）ξ36EI（1+b）ξ206EI（1+b）ξ2（4+b）EI（1+b）ξ0-6EI（1+b）ξ2（2-b）EI（1+b）ξ-EAξ00EAξ000-12EI（1+b）ξ3-6EI（1+b）ξ2012EI（1+b）ξ3-6EI（1+b）ξ206EI（1+b）ξ2（2-b）EI（1+b）ξ0-6EI（1+b）ξ2（4+b）EI（1+b）ξ
　　（13）
　　式中：E为弹性模量;G为剪切模量;I为梁的转动惯量;b为剪切影响系数。b可使梁的横向刚度更加准确，其定义为
　　b=6EΔ2/5Gξ2（14）
　　引入节点的附加旋转角度和弯矩以计算键的应变能，基于Timoshenko梁理论的PD模型见图3。
　　由键连接的两个节点之间的位移是相互独立的，初始的相对位置矢量为ξ，相对位移矢量为η，x′轴与全局坐标系的x轴夹角为。
　　在单个键中，PD的轴向力密度、横向力密度和弯矩密度可以表示为
　　f^y=12d（1+b）ξ2ξ-θ^1+θ^22
　　M^z=M^1z+M^2z2=6c（1+b）ξξ-θ^1+θ^22
　　（15）
　　式中：c和d为要求解的PD参数;和分别为轴向和横向位移;θ^1和θ^2为局部坐标系中节点的旋转角度;b为剪切影响系数。因此， 　　=2-1
　　=2-1
　　（16）
　　那么，存储在由相邻两个节点xi和xj形成的PD键内的应变能密度为
　　w（η，ξ）=dTKd/2=
　　wf^x（η，ξ）+
　　wf^y（η，ξ）+wM^z（η，ξ）
　　（17）
　　式中：wf^x（η，ξ）为由轴向变形引起的应变能密度;wf^y（η，ξ）为由剪切变形引起的应变能密度;wM^z（η，ξ）为由节点旋转力矩引起的应变能密度。
　　wf^x（η，ξ）=c2ξ2
　　wf^y（η，ξ）=12d2（1+b）ξ22ξ-（θ^1+θ^2）2
　　wM^z（η，ξ）=d2（1+b）ξ-6ξ（θ^1+θ^2）+
　　（4+b）（θ^21+θ^22）+（4-2b）θ^1θ^2
　　（18）
　　节点的旋转角度与坐标系无关，因此定义
　　θ=（θ^1+θ^2）/2 （19）
　　那么应变能密度方程可以化简为
　　w（η，ξ）=
　　12cξ2+12d（1+b）ξξ-θ2+dξ（θ^1-θ^2）2
　　（20）
　　在局部小變形过程中，可以假设两个节点的旋转角度是相等的，即
　　θ^1=θ^2（21）
　　因此，式（20）可化简为
　　w（η，ξ）=12cξ2+12d（1+b）ξξ-θ2
　　（22）
　　在x′和y′方向上的应变分别为ε1和ε2，那么在局部坐标系下的应变定义为
　　ε1ε2γ12=cos2 sin2 sin cos sin2 cos2 -sin cos -2sin cos 2sin cos cos2 -sin2 εxεyγxy
　　（23）
　　由局部坐标系与全局坐标系关系可知
　　12=ξε1=ξ（εxcos2 θ+εysin2 θ+γxysin θcos θ）
　　12=ξ12γ12+θ=ξ-εxsin θcos θ+εysin θcos θ+γxy（cos2 θ-sin2 θ）2+θ
　　（24）
　　能量密度
　　WPD=12∫H12cξε21+12d（1+b）ξ12γ122tdH
　　（25）
　　正交各向异性单向板材料可以作为二维问题处理，其PD模型见图4，厚度方向仅考虑单层物质点，面内分为纤维方向和基体方向，纤维键与基体键在拉伸方向的键刚度分别设为cf和cm，纤维键与基体键在剪切方向的键刚度分别设为df和dm，任意角度的键刚度满足
　　c=cf+cm，θ=
　　c=cm，θ≠
　　d=df+dm，θ=
　　d=dm，θ≠
　　（26）
　　式中：θ为纤维方向与x轴的夹角。
　　因此，式（25）中的应变能密度可以近似表示为
　　WPD=12∑Qq=112cfξε21+12df（1+b2）ξ12γ122tVq+
　　12∫H12cmξε21+12dm（1+b1）ξ12γ122tdH
　　（27）
　　式中：b1和b2分别为基体方向和纤维方向的剪切影响因子。
　　在经典连续介质力学中，正交各向异性材料的平面应力状态主方向的应力应变关系为
　　σ1σ2τ12=C11C120C21C22000C66ε1ε2γ12
　　（28）
　　式中：Cij为刚度矩阵。因此，经典连续介质理论的应变能密度为
　　WCL=12Cijεiεj=12C11ε21+C12ε1ε2+
　　12C22ε22+12C66γ212
　　（29）
　　式中：i和j均取1、2、6，ε6=γ12。
　　PD得到的应变能密度应等于经典连续介质理论的应变能密度，可求得cm、cf、dm和df分别为
　　cf=2（E1-E2）（1-ν12ν21）Qq=1ξVq
　　df=2G12（1-ν12ν21）-（1-ν12）E2Qq=15G12ξ25G12ξ2+6E1Δ2×3（1-ν12ν21）Qq=1Vqξ
　　cm=6（1+ν12）E2（1-ν12ν21）tπδ3
　　dm=λ（1-3ν12）E26πδt（1-ν12ν21）
　　（30）
　　式中：ν为泊松比;λ为调整系数，
　　λ=ΦΦ-arctan Φ， Φ=δΔ5G126E2
　　（31）
　　2.2 失效准则
　　
　　对于二维平面问题，破坏每单位断裂面积的所有键所需要的功等于材料的临界应变能释放率，由此可以计算临界拉伸。[30]对于正交各向异性单向板PD模型，键失效定义为纤维键和基体键失效。在纤维方向和基体方向的键的临界伸长示意见图5。对于纤维方向的键，如果键伸长超过临界伸长sft，则纤维键发生断裂;对于其他方向的所有键，如果键伸长超过临界伸长smt，则基体键发生断裂。令均匀介质中单位断裂区域的所有键断裂所需要的功等于应变能释放率GI，Cr，1（即垂直于纤维方向的Ι型断裂应变能释放率[31]），可计算临界伸长sft;等效相应的功和应变能释放率GI，Cr，2（即沿着纤维方向的Ι型断裂应变能释放率[31]），可计算临界伸长smt。临界伸长sft和smt可以表示为
　　sft=4πGI，Cr，19E1δ， smt=4πGI，Cr，29E2δ
　　（32）
　　节点xi与其近场区域内的任意点xj之间有键的相互作用，当键的伸长超过临界伸长s0时，键会发生断裂。定义标量函数μ描述键是否发生断裂，见式（33）。当键伸长小于临界伸长时μ=1，意味着键未发生断裂，否则键断裂并且相应的键力变为0。 　　μ（ξ，t）=1，s（ξ，t′）<s00，其他， t′∈[0，t]
　　（33）
　　將节点xi的损伤定义为函数φ，见式（34）。若在其近场区域内没有键的断裂，则损伤值为0;当与节点xi连接的所有键都断开时，节点的损伤值为1;当损伤函数达到0.5时产生裂缝。
　　φ（x，t）=1-∫H μ（ξ，t）dV′∫HdV′
　　（34）
　　3 数值结果
　　3.1 碳纤维单向板拉伸
　　
　　为验证模型的有效性，对不同纤维方向的单向板进行数值模拟，分别考虑纤维方向θ为0°、15°、30°、45°和90°的单向板，板长为100 mm、宽为20 mm、厚为1 mm。初始坐标设置在薄板左边的中心点，在左侧建立宽度为3Δ的区域作为约束区域，右端施加静力拉伸载荷，力的总和为F=42 000 N。纤维方向的弹性模量E1=41.0 GPa，基体方向的弹性模量E2=10.4 GPa，泊松比ν12=0.28，剪切模量G12=4.3 GPa，密度ρ=1 970 kg/m3。近场区域均匀离散为1 mm×1 mm正方形物质点的集合，近场区域设置为δ=3Δ。使用OpitiStruct进行数值仿真模拟，有限元计算同样也采用1 mm×1 mm正方形网格，将均匀分布在矩形板上的7个作用点作为测量点，见图6。
　　为验证模型的有效性，绘制具有不同纤维方向的正交各向异性单向板沿x轴的位移云图，与有限元分析进行对比，结果见图7～11。
　　PD模型位移云图与有限元模型位移云图结果吻合较好，说明该模型准确。
　　3.2 碳纤维单向板裂纹扩展
　　
　　基于本文提出的BPD模型，引入含有中心裂纹缺陷的碳纤维单向板，模拟含缺陷碳纤维单向板的渐进损伤，通过研究单向板的损伤扩展路径和最终破坏模式，验证该方法的可行性和有效性。
　　考虑长为70.0 mm、宽为40.0 mm、厚为0.6 mm的单向板，初始坐标设置在薄板的中心点，纤维方向的弹性模量E1=105 GPa，基体方向的弹性模量E2=8.4 GPa，泊松比ν12=0.32，剪切模量G12=4 GPa，密度ρ=1 800 kg/m3。近场区域设置为δ=3.015Δ，均匀离散为0.5 mm×0.5 mm正方形物质点的集合。缺陷在试件的几何中心，裂纹长度2a=8.0 mm，在两侧施加2.0 mm的位移载荷。含线裂纹碳纤维单向板受拉伸载荷作用示意见图12。纤维键的临界伸长sft=0.03，基体键的临界伸长smt=0.02。纤维角度为45°时，其渐进损伤结果对比见图13。
　　当纤维方向为45°时，基体首先损伤且损伤开始于初始裂纹的两端;随着位移的增大，裂纹沿着纤维方向向两端扩展，当其达到纤维的临界伸长时，纤维发生断裂。PD仿真结果与试验结果[32]较吻合，可验证该模型的有效性和可行性，同时也表明PD可以模拟碳纤维单向板裂纹损伤，凸显PD理论在
　　模拟裂纹损伤方面的优越性。
　　4 结 论
　　提出一种改进的BPD模型用于克服泊松比受到限制的问题，假设节点受到轴向和横向力的作用，考虑节点的旋转以消除由横向力引起的额外弯矩，从而确保该模型满足角动量守恒条件。由于键的高度与长度的比值没有小到足以忽略的程度，因此在该模型中考虑键的剪切影响系数，提高其精度。
　　通过模拟不同纤维方向的碳纤维单向板的单向拉伸，验证改进的碳纤维单向板BPD模型的准确性和解除泊松比限制的特点。通过模拟不同纤维角度矩形板的裂纹传播路经，验证模型在裂纹损伤模拟中的可行性和准确性。对比结果表明，数值模拟结果和有限元仿真结果均与试验结果一致，可得出以下结论：
　　（1）改进的键基PD模型通过在键的两个节点上加入成对的横向力，可消除泊松比的限制。这是因为有4个独立的PD参数对应于复合材料4个宏观材料常数，分别为弹性模量、泊松比、剪切模量和密度。
　　（2）通过考虑节点的旋转，确保该模型满足角动量守恒，是该模型能够精确模拟变形的关键。
　　（3）键的剪切影响系数可以提高单轴拉伸下板件的横向变形精度，对模拟裂纹损伤和扩展至关重要。
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　　（编辑 武晓英）
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