基于乘子交替方向法改进的图像恢复方法

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　　摘 要：为了改善图像模糊给生活带来的不便，基于乘子交替方向法（ADMM）对图像恢复问题进行研究。图像作为一种重要的信息载体，在生活各个方面都显得尤为重要，但图像退化导致的模糊问题始终是困扰其正常发挥作用的重要因素。ADMM在处理线性逆问题方面有着良好效果，然而在很多实际应用中，无法保证算法能够高效且高质量地恢复图像。为此，提出一种改进ADMM算法，在[x]子问题和[z]子问题中引入新的松弛参数，使得每次迭代步长大于1，从而提高算法收敛性。最后，图像恢复数值实验结果表明，该算法迭代次数减少了40%，显著提高了运算效率。采用改进ADMM算法不仅能够准确、高效地恢复图像，同时也能提高计算机运算效率。
　　关键词：乘子交替方向法;最小二乘问题;松弛算子;图像恢复
　　DOI：10. 11907/rjdk. 192610 开放科学（资源服务）标识码（OSID）：
　　中图分类号：TP317.4 文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2020）005-0217-04
　　0 引言
　　在图像产生、传输与处理过程中，由于受到信号干扰，或成像设备及其它因素的综合影响，无法避免的一个问题便是图像失真，最为直观的表现就是图像变得模糊。图像作为重要的信息载体，在人们的生活、工作、科研等方面发挥着重要作用，而受损的图像可能会给个人、社会造成巨大损失。为了满足生活及科研的需要，对受损图像进行恢复成为了很多学者研究的主题[1-3]。
　　其中，[A，B∈Rm×n]，且[mn]，[b，d∈Rm]，[λ∈R]。在图像模糊问题的模型中，[A]是模糊算子，[B]是正则化算子，当[d=0]时，问题（2）则成为Tikhonov正则化问题，[b]为观测到的图像，[x]是被还原的图像。此外，问题（2）也是Huang等[4]研究分裂算法中的一个子问题，采用TV正则化完成了图像恢复，此时[B]为单位矩阵，[d]是[x]的近似值。
　　对于此类问题，Chan等[3]针对问题（2）设计了利用A和B属性的加速算法。用于求解问题（2）的算法本质上是内点法背景下的牛顿型方法，例如有学者提出将其用于解决非负最小二乘问题[10-11]。内点法同样非常适用于图像重建问题中的不适定问题[12-13]。Bellavia等[14]通过将Karush-Kuhn-Tucker条件转化为非线性方程组，提出一种牛顿型方法求解非负最小二乘问题，在图像去模糊问题上，简化牛顿法优于投影法及某些内点牛顿法。
　　本文采用ADMM法[16-17]处理问题（2），该类问题大量出现在图像处理、机器学习等系数优化领域[19]，而ADMM法近年来被公认为求解具有可分离结构凸问题的有效方法，因而受到了广泛重视。如Cai等[20]将ADMM算法延伸为“邻近点型”交替方向法;He等[21-22]引入两次校正乘子，生成“对称性”交替方向法，随后又提出扩展步长的算法，并针对算法的不精确性进行研究[24];接着Gu等[23]又对其作了进一步研究。针对3个和3个以上问题的研究[25]，直接应用ADMM算法是不能保证其收敛的，因此He等[26-27]提出一些理论上可保证收敛的求解多个可分离算子的分裂算法，即带高斯回代的交替方向法与部分平行的正则化方法。
　　注意到目标函数是由共同变量[x]组合在一起的两个最小二乘项之和，通过辅助变量将两个最小二乘项分离，并直接应用ADMM法。ADMM将问题（2）分解为两个更简单的子问题，每个子问题都是最小二乘问题，目标函数中只有一个二次项。但如果问题（2）中的矩阵A或B都不是单位矩阵，ADMM子问题则无法得到封闭解，也通常很难取得最优解。因此，引入线性化思想可使求解ADMM子问题的封闭解变得更加容易。本文还在线性化ADMM法基础上引入一组松弛算子[18]，将新的松弛参数引入到[x]子问题和[z]子问题中，在取值恰当的情况下，使得每次迭代步长大于1。图像恢复数值实验结果表明，在同样条件下，改进后算法较原算法的图像恢复质量有所提高，且缩短了運算时间，大幅减少了迭代次数。
　　1 算法
　　为了应用ADMM算法，首先将问题（2）变量拆分为：
　　2 数值实验
　　本节将A-ADMM算法应用于图像模糊问题，所有代码均由Matlab 2016a 编写，处理器为 Intel Core i5 3.0GHz ，内存16Gb，并在Windows 10上运行。
　　实验中设置[λ=2×10-5]，[τ=1.05ρ（ATA）]，[γ=0.1]，[t=1.9]，[ω=0.7]进行验证。表1为A-ADMM算法与LADMM算法处理结果对比。从表1可以清晰看出，A-ADMM算法在迭代次数上具有明显优势，相较于LADMM算法减少了40%的迭代次数，同时运算时间与信噪比也得到了保障。
　　通过对两种算法的比较，可以看出A-ADMM算法具有明显优势，在迭代初始阶段即明显表现出更好的收敛效果，最终结果也证实了改进后算法具有更好的性能。本文算法在不牺牲运算速度与图像质量的同时，减少了迭代次数，取得了符合预期的效果。
　　3 结语
　　本文从线性ADMM算法中获得启发，提出一种加速ADMM算法。通过对改进ADMM算法的研究发现，在[x]子问题和[z]子问题中引入松弛算子，使得算法每一步子问题的迭代步长都能大于1，可使算法能够更高效地收敛，在确保其具有更高效率的同时，提高了图像恢复质量。本文数值实验验证了松弛算子能提高算法性能的猜想，A-ADMM算法相对于LADMM具有明显优势，可减少40%的迭代步骤，从而节省了大量计算资源。在接下来的工作中，针对如何在提升迭代次数的同时，提高图像恢复质量，并大幅减少运行时间，还需作进一步研究。
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　　（責任编辑：黄 健）
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