一种改进的加权最小二乘无网格法
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摘 要：目前现有的无网格方法因为不依赖网格的划分，所以在处理一些传统有限元方法中需要网格重构的问题上具有很大的优势。在基于Galerkin法建立其的弱势控制方程需要进行积分，运算量大。该文结合加权最小二乘无网格法，引入具有插值特性的Shephard形函数，推导出一种改进的加权最小二乘无网格法，使其能够方便地添加本质边界条件，并且提高了精度。最后编制了程序提供了一个算例验证该算法。
关键词：加权最小二乘法 Shephard形函数 无网格法
中图分类号：TK124 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）01（b）-0206-04
在处理数值仿真的问题上，无网格方法是用节点对求解域离散，相比有限元法利用单元网格进行离散，在处理自适应分析、大变形和裂纹扩展等在传统有限元中需要网格重构的问题上，有着灵活有效等优点。最近十多年来，在计算力学界和各相关领域得到了较大的关注和研究[1-2]。
目前现有的无网格方法的分类主要根据其使用的形函数不同进行分类，主要包括[3-8]：滑动最小二乘法（MLS）近似的无网格方法、核函数近似的无网格方法（SPH、RKPM）、点插值近似的无网格方法（PIM、RPIM）、自然邻接点插值近似的无网格方法（NEM、NNM）。上述方法中，大多数是基于Galerkin法建立弱式的控制方程，需要利用各节点的子域进行积分，由于这些近似函数都不是多项式，因此需要使用高阶高斯积分，计算量较大。针对上述问题，清华大学张雄教授提出了一种加权最小二乘法[9]，是利用最小二乘法系统建立变分原理，将控制方程残差在所有节点上（包括边界点）予以消除，具有易于编程实现、计算量小、结果稳定等优点。但其使用的形函数是基于最小二乘法建立起来的形函数，不具备有插值特性，在施加本质边界条件时候使用罚函数法，并不是精确满足的，因此在计算中容易出现数值振荡现象[1]。
该文引入一种新发展的无网格Shepard-最小二乘（LMSLS）插值方法[10]，推导出一种改进的加权最小二乘法。新的LMSLS其形函数满足Kronecker条件，可以直接施加边界条件，能够精确满足，基于这种形函数导出的加权最小二乘法可以克服或者减少数值振荡现象，提高精度，同时具备传统加权最小二乘法计算量小、易于编程实现等优点。最后给出算例验证该方法的有效性。
1 LMSLS插值近似函数
Shepard-最小二乘（LMSLS）插值技术是基于单位分解的概念（Partion of Unity）[11]。由最小二乘形函数的基础再运用Shepard形函数做加权，使其具有delta属性及精确再生基函数能力。详细的推导证明过程相关文献[10，12，13]中给出了叙述。下面对其推导过程做个简单的叙述。
如图1所示，对任意分析区域Ω离散成N个节点。设其中任意节点i的坐标为xi，影响半径为dmi，节点i的影响范围内有m个节点，由传统的MLS形函数方法，得到位移近视函数，以x方向位移u（x）为例，可得如下定义：
上述加权最小二乘法类似文献[9]传统的加权最小二乘法的推导，因为其形函数具备Kronecker条件，因此不用罚函数法添加本质边界条件，可以在边界条件上直接相等。
3 计算算例
该文以文献[1]中加权最小二乘法算例为验证，比较改进后的加权最小二乘法与传统的加权最小二乘法做对比。
以一维受线性分布载荷作用杆模型为例，如图2所示，杆L为单位杆，E=1，v=0.3，求解受线性分布载荷情况下杆的位移与应力。采取均匀分布的11给节点，dmi为0.1。图3为计算杆的位移与应力结果，该算例的解析表达式为：
计算得出，传统的加权最小二乘法LuMSL=0.98LuMSL=1.28，而改进的加权最小二乘法LuLMSLS=0.97，LsLMSLS=1.26。由于算例只是一维简单算例，精确度提高不明显，但还是有所提高。根据误差分析原理，可以推导出，再处理二维问题或三维问题，改进的加权最小二乘法精度能得到明显提高。
4 结语
针对弱势无网格法建立起的计算方法计算量大，而配点法虽然计算量下，但精度不高，且数值稳定性不好等缺点，结合传统的加权最小二乘法，提出了一种改进的加权最小二乘法。通过一维算例验证，改进的加权最小二乘法精度较传统的加权最小二乘法高。由于改进方法的形函数是由传统方法的形函数推导而来，其在程序上实现容易，兼顾了传统加权最小二乘法计算量小、易于编程实现的优点，同时提高了计算精度。
参考文献
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