从最小的余数是几说起
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摘要：小学数学的很多知识应该基于规则的建立与遵守和定义运算的真实情境而展开，在讨论余数的可能性和大小时，就应该在带余除法这个类别中展开，课本中出现余数0正是为了进一步研究余数的产生，還有余数的大小范围。余数为零，就是没有余数。所以，最小的余数是1。
关键词：数学教研；带余除法；最小的余数
麒麟小学的数学教研活动随时随地，没有约定俗成，老师们经常不由自主就某个数学问题展开讨论，集体备课已成常态。本文从最小的余数是几说起，展开讨论。
一、 提出问题
开学不久，数学组就最小的余数是几的问题老师们展开了热烈的讨论。首先由刘畅组长提出：关于最小的余数是几？0能不能作为余数？二年级教参上前后两段语句表达不一致，第一句的意思是多出来的部分才叫余数。第二句的意思提到了余数为0的情况。那么这样的话，最小的余数是1还是0呢？
二、 寻找资料
既然提到了余数，那我们首先从字面上来理解，什么是余数？我们从最常用的两个地方寻找：
（一） 百度汉语
整数除法中，被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。如27÷6=4……3，即不完全商是4，余数是3。
（二） 现代汉语词典
整数除法中被除数未被除尽的部分，例如27除以6，商数为4，余数为3。
很显然，单从字面上的理解，最小余数就是1了。
三、 两种观点
（一） 最小的余数是1
战程老师认为，余数如果为零了，即表明被除数和除数是整除关系了，就不存在有余数的情况了。整除的概念是整数A除以整数B，除得的商是整数而没有余数，我们就说A能被B整除。你看，余数为零，就是没有余数。所以，最小的余数是1。
战程老师多年从事小学高段，他继续说，整除是除法的一种特殊情况。余数为零也可以理解为和整除相辅相成匹配的一个必然结果。我觉得，余数为零，就是没有余数。或者，是余数的一种特殊情况。因为它不影响逆推算被除数=除数×商+余数，而忽略不计，不去探讨，没有意义。上面课中出现余数0是为了进一步研究余数的产生，还有余数的大小范围。余，是剩余。都分光了，没有剩啦。
方泽友老师的观点也相同，他补充说：余数是基于不能整除而产生的需要，在实际生活中出现分不完的情况就出现了余数。
说到这，黄文凤老师谈到了余数产生的一则数学故事：在很久很久以前，人刚刚从猿猴转变成人，他们以打猎为生。可是猎物常常太少，他们必须把食物平均分开，否则就会有人饿死。但是在分食物的时候，人们经常发现：每个人分到相同数量的食物以后，还会剩下一些，可是这些食物又不够再分一次，于是这就启发了后来的人们认识到数学除法运算中的余数。
就着这个数学故事，柳蓉老师举了个例子说：是啊，比如6个人打麻雀，一共打了10只，每人就能分到1只，还会剩下4只。这样，算式就是：10÷6=1……4。那么，“……”后面的“4”就表示剩下的麻雀的数量，我们就把它叫做“余数”。如果刚好分完没有剩下的，我们就应该说没有余数，最好不要说余数是0，避免出现误解。
（二） 最小的余数是0
年轻美女宁老师提到了自己的疑惑：当15÷5时，得到整数商3，既可以说“没有余数”，也可以说“余数为0”吧。既然余数为0这句话是成立的，最小的余数就不确定是1了。
王迪老师接着提出：是啊，那在整数除法中，一个数除以5，余数到底有几种呢？
说到这，刘老师也提到了一篇文章，这篇文章就建议现在小学的数学教材要把最小的余数定为0，说是有利于学生认识0的双重意义，知道0既可表示“无”，又可表示“有”。使用修改后的教材教学，能让学生初步感知对立统一的辩证思想，有利于学生用发展变化的辩证唯物主义观点认识概念间的关系，知道当学习了“有余数的除法”后，原来的“整除”（包括“表内除法”）可以看做是“有余数的除法”的特例，由此理解“特殊”与“一般”的关系。
四、 综合意见
学校办公室的白云鹏主任针对大家的热烈讨论，首先感谢刘畅组长提出了这么有实战价值的问题，也学习了各位老师的真知灼见，他说这种氛围让我这个老麒麟感到我们数学组的再次腾飞真是指日可待了，并谈了自己的一些看法：“当时我在经历这个内容时也有过困惑和思考，暂且就算是分享个人的建议和做法吧，不周全、仅供参考。大家刚才提到的余数问题我们先放一下，退回本质思考一下，从0这个数说起，一年级的教材中有关于0的主题图介绍，大体功能包括可以表示：没有、号码、起点、关闭、分界点等等。那么这里的余数为0到底是利用了0的哪个功能呢？从计算大小和平均分的角度理解应该是表示没有，已经除尽。但其实另外一个功能是隐性存在的，那就是分界点，就像0既不是正数，也不是负数一样。余数为零作为除法运算的分界，把整数除法分为整除和带余除法两个类别，而我们在讨论余数的可能性和大小时，就应该在带余除法这个类别中展开，即最小的余数是1。说到这里马上想到五年级的倍数与因数教学时，也是先限定了整数的研究范围才展开教学的，其实我们都知道0.4是0.2的倍数其实也问题不大。至于中学以后的规律性表达A=BQ+R（R≤0）是基于用规律表示出所有情况而产生的（不分类），对小学数学的细化和分类教学影响意义不大，其实很多知识在中学都会发生重构，（这是历史和学识的进步决定的），因此数论没错，但是适用范围要我们自己把握。总之，小学数学的很多知识应该基于规则的建立与遵守和定义运算的真实情境而展开，不要纠结。”
最后白主任真诚表示，谢谢各位，欢迎拍砖！希望大家都能基于教学的真实困惑展开学习和探索，受益就会成为我们和孩子们的必然！数学来源于生活，也要服务于生活，谢谢我的兄弟姐妹，你们才是麒麟的真实可贵！
作者简介：
刘辉，广东省深圳市，深圳市南山实验教育集团麒麟小学。
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