应用数形结合思想指导数学解题
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[摘 要]高中数学题型越来越抽象，学生在解题过程中分析题干信息不全面导致问题频出，而应用数形结合思想，有助于学生将抽象问题直观化，从而有效解决问题.教师可从绘制图形、构造图形、转化图形和观察图形四个方面引导学生应用数形结合思想解决数学问题.
[关键词]数形结合思想;数学解题;高中数学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2019）08-0035-02
“数”和“形”是数学研究的两个主要方面，这两个方面相辅相成，通过彼此之间的转换和建构，以“形”代“数”，则可以使原本抽象的数学等式、题干立意在图形的表示中一目了然，寻找到数量关系，进而有效解决问题.数形结合对学生解题能力和解题效率的提升都有很大的帮助.因此，笔者从以下四个方面就如何应用数形结合思想指导学生解决问题展开论述.
一、绘制图形，化静为动
高中数学习题中，常有求值域、取值范围等题型，尤其在处理有某种函数关系的取值范围时，学生常存在分析不清楚题干或分析问题不全面等问题.笔者认为，在处理这些问题时，应通过建立坐标系，化静态为动态，在变化中求解问题.这样的方式既便捷又全面.
例如，在求解函数中未知项的取值范围时，如有向线段PQ，P的坐标为（-1，1），Q的坐标为（2，2），已知一条直线l：x+my+m=0与有向线段PQ的延长线相交，试求l中m的取值范围.笔者在指导学生解决此题时，首先做的就是引导学生全面分析题意，如抓住“有向”等关键字眼，这个是解决本题的关键点.之后便引导学生采用数形结合的方式来解决问题.第一步就是将l的表达式换为点斜式，即y+1=-1/m·x，则可得出l的斜率为-1/m，且直线l恒过定点A（0，-1），在求有向线段PQ所在直线的斜率kPQ=1/3，A与Q连线斜率为kAQ=3/2，则之后绘制坐标图，在图中分析，当斜率-1/m取最小值时，即直线l与PQ所在直线趋于平行时，即-1/m[>]1/3，而直线l的斜率取最大值时，则是l的斜率趋近于kAQ，即-1/m[<]3/2，在这样一个范围内，直线l都可以与PQ延长线相交，则1/3[<] -1/m[<]3/2.因此，通过解答，学生便得出了m的取值范围为-3[<]m[<]-2/3.
上述教学中，通过转换数据，绘制图形，化静态为动态，在动态中分析问题，使学生可以迅速理解和掌握此类题目的解题方法，并在日后遇到此类问题时能高效解决.
二、构造图形，凸显关键
在高中数学中，最值问题是学生感到最头疼的内容，究其原因是抓不住题中的关键点.笔者认为，通过构造图形，凸显关键节点，是最为简单有效的解题方法.
例如，在求最值问题时，笔者通过以下问题指导学生进行解题，如已知关系式y = cosθ-31/2/sinθ+1，求y的最小值.笔者会先引导学生寻找题干中的关键点，如该关系式恒过定点A（sinθ，cosθ），B（-1，31/2），这是学生可以从题干中分析出来的，而A是圆x2+y2=1上的点，B则是定点，对此可以利用已知构造图形，通过在坐标系中表示各数据，连接BO、AO之后，再寻找它们的关系，分析判断之后便可以得出AO=1，而通过B的坐标点得出BO=2，DO=AO=1，根据学过的三角形知识可知∠ABO=∠DBO=30°，则关系式y = cosθ-31/2/sinθ+1的最小值就为tan150°的值，即为-31/2/3，至此问题迎刃而解.
这样的教学，使学生学会通过构造图形寻找最小值时所对应的三角函数关系，则在解决问题时，便凸显出了关键点，为学生分析难题提供了行之有效的方法.
三、转化图形，寻求正解
利用习题中的条件寻找某种关系，然后将其转化为图形，再分析图中蕴含的条件，可以有效地提升学生的解题效率.笔者认为，在解题时，还可根据题意转化图形，在转化图形的过程中，寻求题目的正确解答.这样的方式，可以帮助学生全面分析问题，防止遗漏.
例如，已知A集合为[x|-2≤x≤a]，B集合为[z|z=2x+3，x∈A]，C集合为[y|y=x2，x∈A]，且C属于A，求a的取值范围.在这种题型中，有4种情况出现，且4种情况缺一不可，虽然有时不会影响到最后取值，但在解题过程中也应注明，这样才可以培养学生严谨的解题思路.如z =2x+3，在A集合范围中是递增函数，因此，学生可以得出B集合为[z-1≤z≤2a+3]，到这步时，学生基本是可以掌握的.而在分析C集合时，则会有多种情况出现.笔者引导学生通过绘制图形及转换图形，分[-2≤a≤0]、[0≤a≤2]、[a>2]、[a≤-2]四种情况进行分析，根据C [∈] B的条件，则分析转换图形中发现，第一种情况，当a[∈][-2，0]时，a2 ≤ z ≤ 4，则2a+3 ≥ 4，解得a ≥1/2，则与前提条件-2 ≤ a ≤ 0相矛盾，所以第一种情况是矛盾的，则需要将其排除.同样的，利用这种方式，分析其他三种情况，符合条件的留下，不符合的排除，最后便總结得出a的取值范围为（-∞，-2）∪[1/2，3].
在不停地转化图形的过程中，则可以全面地分析出题意包含的各种情况，可以达到精准求解的目的，在解决选择题和填空题时应用这种方式，可以有效提升解题效率.因此，笔者在指导学生进行数学解题时经常采用这种方法，培养学生的数形结合思想.
四、观察图形，判断验证
在解决完问题之后，可通过观察解题的图形进行判断和验证，来确定自我求解过程是否正确，因为在求解一些问题时，在高中数学范围内，所求值可能是位于交点处.因此，可通过观察解题的图形，判断验证求值是否正确.
例如，在解决“根据以下三个不等式x ≥1，x-y ≤ 0，x+2y-9 ≤ 0，求出x+y的最大值”这道题时，学生通常会将不等式转化为函数关系，然后让其相等，建立方程，求出交点值，至此便认为可以求出x+y的最大值.笔者发现学生的这种问题后，便在指导解题时，偏向引导学生画出线性规划的坐标图，标注出其中的阴影部分，然后再分析最值.笔者认为这样更为严谨且不容易出错，即y=x，y=-1/2x+9/2，然后求解最值，在求各个交点值之后，得出最大值点是（3，3），即x+y的最大值为6，便可结合图形判断原求值是否正确.在图形中，可以按照分析斜率的大小关系，判断出最大值应该出现在何处;同样的，还可以通过图形判断最小值和计算最小值等问题.
通过观察图形这种方式，可使学生快速找到思路，判断验证求解过程，同时培养学生的数形结合思想.
总之，在教学中，利用数形结合思想指导学生解决数学问题，有助于学生高效解题和理解掌握知识点.高中数学相比于初中数学和小学数学更加抽象，因此教师必须在解题过程中，引导学生打破抽象的表象，利用图形分析出它的本质内容，从而有效提升学生的解题能力.
（特约编辑 安 平）
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