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关于泊松分布与纯生过程

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  【摘要】概率与随机过程作为数学理论的一部分,在实际生活中有着重大的意义,可以成为许多生活应用的理论基础。本文以一种随机过程一泊松过程及其应用为切入点,进一步推广到纯生过程的性质,对于纯生过程爆炸的条件予以研究与推断。
  【关键词】计数过程;独立增量过程;泊松分布;纯生过程;爆炸
  一、引言
  据美国人口普查局统计,2018年元旦全世界人口总数达到74,4444,3881人。人口的不断增长不免使我们产生担心与好奇:世界的人口在未来的某一天会不会增长到地球无法容下,甚至于无穷,这是一个很难解决的问题。
  本文将结合数学中的泊松分布等理论尝试给出解答。先是由基础的随机变量等数学概念引入,随后转向一种特殊的独立增量过程一泊松过程。熟悉其性质后,转向其一般化应用的一种跳过程:生灭过程。再对一种特殊化的生灭过程:纯生过程进行研究,最终从纯生过程的性质分析中得到纯生过程爆炸的条件(即人口增至无穷的条件)。
  二、泊松过程
  在引入泊松过程之前,我们先介绍随机变量并对其分布和期望的基本性质进行分析。
  随机变量:随机变量X的概念,在高中的统计概率部分就已引入了,表示了随机试验各种结果的实值单值函数。它在本质上是定义在样本空间上的一个或离散或连续的函数,对于R的任意子集A,{X∈A}是事件。通过将随机事件的结果用数量化的方式表示,可以更好地分析生活中的随机现象。例如灯泡的寿命,病毒的分裂感染,公交汽车站等车乘客人数等。
  概率分布:对于随机变量X称F(X)为X的分布函数。分布函数是单调不减的右连续函数,如果X有离散的概率分布。
  数学期望:假设离散随机变量X在点xj的概率为pj,如果E(X)=∑xjpj存在,则称其为X的数学期望,也就是概率加权平均值。
  计数过程:用N(t)表示时间段[0,t]内某类事件发生的个数,N(t)是随机变量。称{N(t):t≥0}是计数过程。计数过程满足如下条件:
  (一)对t≥0,N(t)是非负整数取值的随机变量;
  (二)对t>s≥0,N(t)≥N(s),且N(t)-N(s)是时间(s,t]中的事件发生数。
  独立增量过程是一种特殊的计数过程,其特点在于在不相交的时间段内事件发生的概率是相互独立的,即不同时间段相互之间无干扰。
  泊松过程:波动过程是一个特殊的计数过程,并且称满足下列条件的计数过程{N(t)}为强度λ为的泊松过程:
  (一)N(0)=0
  (二){N(t)}为独立增量过程
  (三)付任意t,s≥0,N(s,t+s]服从参数为λt的泊松分布,即
  泊松过程是一种特殊的独立增量过程,其数学期望与方差均为λt。于是有,是单位时间内事件发生的平均数,入越大,单位时间内平均发生事件越多。泊松过程中两个相继发生的时刻的间隔服从指数分布。
  泊松过程是无法画出确切图像的一个计数过程,但它在生活中的应用却较为广泛。许多在一定时间、一定空间范围内的计数过程均可以与其建立直接或是间接的联系,比如停车场的车辆进出、钓鱼过程等的估测,因而对于数据分析也会有所帮助。同时我们还可以由泊松过程的性质进一步推广到更为广泛的跳过程。
  三、泊松过程的合并与细分
  假设(N1(t)}和{N2(t)}是相互独立的,强度分别为λ1和λ2的泊松过程,则N(t)=N1(t)+N2(t),t≥0,强度为λ=λ1+λ2。也就是说两个相互独立的泊松过程是可以合并的。由此推知,多个相互独立的泊松过程可以合并为一个泊松过程。同样的,一个泊松分布可以分解为两个或多个相互独立的泊松过程。
  采取较为生活化的说法解释,举例来说,一个商店的前门在t时间段内进入的游客数服从参数为λ1t的泊松分布,后门在相同t时间段内进入的游客数服从参数为λ2t的泊松分布。很容易想到,商店在该时间段内进入的总人数也服从泊松分布,强度为(λ1+λ2)t。同样的,该合成的泊松过程可以分解为前门、后门的两个泊松过程,强度分别为λ1和λ2。
  若N(t)是一個参数为λ的泊松过程,ε1,ε2…独立同分布的随机变量序列,与N(t)独立,P(ε1=1)=1-P(ε1=0)=P。那么和是两个互相独立的泊松过程,参数分别为λP和λ(1-p)。
  想象商场中有若干个门时,可以将多个相互独立的泊松过程合并,也可以将一个泊松过程细分成多个,每个人可以有概率地从每个门出去。
  四、泊松过程一般化的应用一纯生过程
  泊松过程是最简单的连续时间随机过程,在我们的生活中可能不存在如此理想化的过程,因而需要进行一定的一般化与推广,这便提到了生灭过程。而考虑到影响因素较多,我们将生灭过程予以特殊化处理,得到了纯生过程(只出生不死亡的生灭过程)。而关于纯生过程的数学化定义,将在后文中给出。
  纯生过程爆炸,可以认为是在有限的时间内让人口增至无穷,换言之,人口达到无穷所用的时间不是无穷而是有限的。我们将在一段时间内生命的降生的每段时间间隔分别设为随机变量ξ1,ξ2,…ξn类比泊松过程可知ξk~Exp(ξk)。令S0=0,Sn=ξ1+ξ2+…+ξn,Xt=sup{n:Sn≤t}。则Xt为我们所说的纯生过程。n为满足接连出生的生命时间间隔之和小于等于t的最高上限,即Sn时间内降生的数量。λk越大时,出生n人所需的t(即Sn)越短。那么可能存在一种情况,λk可以满足存在τ<∞,使t≥τ时,Xt=∞成立。此时即可认为人口在有限时间内达到了无穷,纯生过程爆炸。
  由于τ为Sn单调上升得到,则。若,则Eτ<∞,此时纯生过程不爆炸。反之,若,又由ξ服从指数分布,由指数分布性质,可知。于是由有界收敛定理有=1,即P(τ=∞)=1,此时纯生过程爆炸。
  上述证明过程中用到了:1、单调收敛定理,即最终收敛于;2、加和为无穷的非负数列,分别加1后乘积为无穷;3、泊松过程、指数分布的相关性质与积分运算、极限运算。
  应用举例:Yule过程,若,则称对应的过程为Yule过程。则
  故Yule过程不会爆炸。
  【参考文献】
  [1]何书元.随机过程[M].北京大学出版社,2008
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