用马尔科夫链玩智能作曲

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　　在本文开头，先给大家介绍一位作曲家，她叫Aiva，才华出众，作品众多，已出版过多个音乐专辑，还有不少作品在音乐厅由交响乐队演奏。但Aiva不是一位人类作曲家，而是一个精通作曲的人工智能程序，将其作品和人类的音乐作品放在一起时，几乎无法辨认。
　　教师在人工智能的课堂上，大概不会满足于仅仅欣赏Aiva设计的音乐作品，如果能让学生自己体验一下人工智能的作曲过程，那该多好。Aiva的网站上倒是提供了自助编曲功能，用户设置好音乐风格、乐器和时长等参数后，就可以一键完成音乐作品“创作”，但是，除了让学生体验到“人工智能真厉害”之外，隐藏在“真厉害”背后的原理，却一点儿也无法揭示出来。这也难怪，要想让Aiva写出质量不亚于人类作曲家的作品，不仅需要相当艰深的计算机科学或数学原理的支撑，而且需要大量原始乐谱作为机器学习的材料，毫无疑问，软件设计者还需要专业的音乐创作技能。
　　那么，关于人工智能创作音乐的教学，就只能简单地停留在欣赏环节吗？答案当然是否定的。本文试图通过一个教学活动来说明，只要选取了恰当的策略，即便是在不多的课时中，也能实现智能作曲相关的“需求提出—数学原理揭示—计算机算法实现”的完整的教学过程。
　　循序渐进，降格以求——从一段难听的音乐引出任务
　　这个教学活动的名字叫“用马尔科夫链玩智能作曲”，然而，因为并不是真的要上音乐课，所以要回避音乐创作中节奏安排、旋律发展、乐段结构、和弦配置、乐器配置等内容。作为驱动人工智能学习的任务的目标，可以有策略地将智能生成音乐作品替换成“把难听的旋律变好听”，这样，一方面，为任务达成设定了容易跨越的门槛，另一方面，也为学有余力的学生设定了一个长期的自主学习和探索目标。
　　图1所示的这段简单的代码，是利用低音的So、La、Ti和中音的Do、Re、Mi、Fa、So、La这9个音符，随机生成一段旋律序列。代码中用到了pysynth库，这个库的作用是把音符名称转换为声音（Do对应音调c，Re对应音调d，以此类推）。在代码中，notetune列表中添加的，就是随机生成的音符名称，而notedelay列表中存放的，是对应每个音符所持续的时长，为简单起见，每个音符延续的时间都设置成1/4拍。
　　程序代码总共只有十多行，用到的流程结构只有循环，数据结构只有列表，可以说十分简单。但由程序随机生成的所谓旋律简直难听无比，于是，怎样才能让随机生成的旋律更优美一些，自然而然就成了探索的课题。
　　眼观为实，亲历其境——马尔科夫链的展现
　　用来实现智能作曲的计算机的方法很多，如神经网络、自动机模型、贝叶斯学习等，但有一个工具，几乎所有的智能作曲软件都会用到，那就是马尔科夫链。一段旋律的产生，实质是在时间轴上将音符放置到不同的位置，而每一个音符的放置，如果只是随机放置，并不能带给人愉悦的感受，音符的放置必须要参考上一个音符的情况，类似的，某一个乐句或乐段的结构，也肯定和上一个乐句或乐段的结构有关（为简单起见，本文不涉及乐句和乐段结构的变化）。这就涉及了教学活动中重点介绍的马尔科夫链。所谓“弱水三千，只取一瓢”，不仅是因为马尔科夫链在旋律的自动产生中起到重要作用，也同时因为这个模型非常容易用程序代码实现出来，而且能便捷、直观地观察到效果。
　　那么马尔科夫链是什么呢？按照数学的定义来说，马尔科夫链是具有马尔科夫性质，且存在于离散的指数集和状态空间内的随机过程，可以用转移矩阵来定义。这段话未免让人看得有些云里雾里，这是因为数学定义需要有很强的严谨性，但如果是拿马尔科夫链来当作解决问题的工具，那只要直观观察一下其工作过程，就很容易知道，为什么这个工具可以用来自动产生旋律了。
　　一个形象直观且可交互执行的工具名叫“Markov Chains A visual explanation”，用搜索引擎可以找到其在线运行的地址，也可以将代码下载到本地运行。在这个工具中填写入转移矩阵，就可以看到马尔科夫链的运作过程了（如图2）。
　　怎么玩这个转移矩阵呢？想象一下A、B、C玩抛球游戏，A更喜欢自己抛自己接，只是偶尔抛给B和C，玩家B也喜欢抛给自己，偶尔抛给A和C，但玩家C却优先把球抛给B，偶尔抛给A和自己。若将大概率的抛球对象的概率值设为0.8，小概率的抛球对象的概率值设为0.1，就得到了转移矩阵（如下表）。
　　将数值填入后，就可以观赏抛球表演了，当然，也可以在转移矩阵中填入其他概率值，然后观察抛球游戏的效果。
　　为什么这个模型可用于自动产生旋律呢？想象一下，假如当前音符是中音So，那么从人的欣赏习惯来看，更自然的后续衔接，大概率是中音Do、Mi、La等，偶尔也可能是中音Re、Fa，但概率就小了许多，至于变成低音La，概率就更小了。所以，只要将音符的变化的概率，制作成马尔科夫转移矩阵，就能让程序按特定概率随机生成听上去更自然的旋律了。
　　善假于物，物盡其用——将任务融入日常算法和程序教学
　　在介绍了马尔科夫链的工作原理后，接下来的难点，是要用学生所掌握的算法和程序知识技能，将智能旋律生成的代码实现出来。整个程序中，用到的都是常用的流程结构和数据结构，唯一困难的地方，就在于状态转移矩阵的建立。
　　建立状态转移矩阵的第一步，是获得转移矩阵的概率的数据。照理说，程序应当在大量的乐谱中，通过对音符逐个扫描，计算出转移矩阵的概率，但读取乐谱并计算概率这个工作，并不容易在有限的课时中实现，一个便捷且有趣的方法是，让学生分小组，用哼唱熟悉歌曲并记录的办法，大致将每个音符后续出现音符按出现可能性从大到小排列出来。
　　建立状态转移矩阵的第二步，是将转移矩阵变成列表或数组，为了避免复杂的概率上的计算，有一个“投机取巧”的办法，就是在列表中将大概率的音调名称填写得多一些，将小概率的音调名称填写得少一些，举例来说，可以用图3所示的这个二维的列表来代替转移矩阵。
　　列表中的第一行，对应的是g3这个音（也就是低音So）最可能出现的后续音符，从列表中可见，g3音后续更可能出现的是a3（低音La）或c4（中音Do），偶尔出现e4（中音Mi）和g3（低音So，也就是它自己），其他音不出现。这个列表是根据先前自由哼唱的大致结果填写的，列表中音符出现多少的变化，就会决定音乐风格的变化。这就意味着，只要“喂”给程序大量不同风格的乐谱，程序就可以统计出不同风格音乐旋律发展变化的概率，从而实现智能自动编曲。
　　第二行列表对应的是a3这个音（也就是低音La）最可能出现的后续音符，第三行以及后面若干行以此类推。
　　用马尔科夫链自动生成旋律的程序代码也很简短（如图4），程序思路如下：先给出一个c4音（中音Do）加入到旋律列表中，然后，在二维列表中找出对应c4音的后续音的那一行列表，然后随机抽出某个后续音，加入到旋律列表中。运行程序可以发现，生成的旋律果真比刚才好听多了。若是有兴趣再加上节奏变化和乐句间的停顿，就能自动创作出一首儿歌级别的音乐作品啦。
　　程序代码中，稍显难解的地方，其实就是根据前一个音符在二维列表中找出对应的后续音符列表。但即便不使用二维列表，只用一维列表和If分支语句，也一样能达到目标，只是代码量稍微大一些而已。这样一来，整个自动生成旋律的任务，除了需要讲解马尔科夫链这个环节，其他内容都可以融入到日常的算法教学中。因此，日常的算法与程序语言的教学，就成了人工智能教学的基础铺垫，而人工智能教学中的任务，也就成了日常算法与程序语言的教学的驱动目标。
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