“异侧和最小”在圆锥曲线中的应用

来源:用户上传      作者: 施杰英

　　“异侧和最小”思想的形成最早的时候是在《直线与圆》这一章的光线反射中发现的，后来在圆锥曲线的一道习题中又发现了这个思想的应用，下面谈谈我个人的观点。
　　苏教版数学选修2-1书66页的复习题14：已知定点Q（7，2），抛物线y2=2x上的动点P到焦点的距离为d，求d+PQ的最小值，并确定取最小值时P点的坐标。
　　解：抛物线y2=2x的准线为x=
　　-0.5。设点P在准线上的射影为R，则Q到焦点的距离d就等于PR。当点P，Q，R在一直线上时，d+PQ取得最小值，此时PQ与准线垂直，点P的坐标为（2，2），最小值为7.5。
　　我们都知道两点之间的连线中线段最短，一个点与直线上的点的连线中以点到直线的距离最短。而本题就是使用了后者。本题的解法是否适用于一类问题呢?如果将本题中的点Q点坐标改为（1，2）呢？
　　此时点Q在抛物线开口外侧，与F点分在抛物线的异侧，而上题中的点F与Q在抛物线的同侧，所以所用的方法是不同的。异侧的时候直接连接可得点P、F、Q三点共线，PF+PQ=FQ，否则总有PF+PQ>FQ，所以直接连接得到的点P就是所要求的点。
　　那么当同侧的时候先要将其转化成异侧，然后将其连接起来就可得点P。所以总结下来应该为“异侧和最小”，只有异侧了才可以连接得点P。
　　这类问题可以是抛物线，也可以应用于椭圆和双曲线。
　　
　　分析：经判断点A在椭圆的外部，而F在椭圆的内部，所以连接PF，即可得PA+PF的最小值PF，否则总有PA+PF>PF。
　　变式1：A（1，1），求PA+2PF的最小值。
　　分析：此时点A和F都在椭圆的内部，所以要先将其中一个转化出去，我们能用的是PF/d=e，从而将2PF转化成d（即为点P到准线的距离），所以PA+2PF=PA+d，后面模仿抛物线第一个题型就可以了。
　　变式2：A（1，1），F′为椭圆的左焦点，求PA-PF的最小值。
　　分析：首先这里不是和的形式，能不能先化成和？因为在椭圆中有PF+PF′=2a，所以所求的就转化为PA-（2a-PF′）=PA+PF′-2a；此时点A和F′都在椭圆的内部，再利用变式1的方法就可求了。
　　总结如下，在解有关圆锥曲线中“和最小”问题，必须是异侧的时候直接连接才能得到“和最小”及“和最小”时的点P，这也就是所谓的“异侧和最小”，如果没有异侧，那就用有关知识将其转化成异侧就可以了，那么可以拿来转化的知识这里介绍了两个，一个是圆锥曲线统一定义：PF/d=e，还有一个是圆锥曲线的第一定义。
　　其实在我们学习数学的时候，解题不在多，真正掌握方法就行！数学方法一旦形成了思想，它就会在解决许多问题中起作用！在教育中教师的作用就是启发引导学生形成一定的思想和方法，并用此来帮助解题。相信在我们老师的勤思考勤总结中会得到很多类似的思想，学生会学得更加轻松和快乐。
　　（作者单位 江苏省丹阳市珥陵高级中学）

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