牛人总结第二篇:导数
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作者: 王 健
◆ 理解导数需先掌握平均变化率与瞬时变化率的含义与区别,学会导数的表示及变形: f′(x)=y′==. f(x)在x=x0处的导数f′(x0)=y′|x=x0===.
◆ 导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率,该切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
注:利用导数的几何意义可以解决解析几何中曲线的切线问题. 特别地,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴,此时导数不存在,也即切线斜率不存在,切线方程为x=x0.
◆ 利用导数求解曲线的切线时,应注意区分求的是“在点处”的切线还是“过点处”的切线.“在点处”,若点在曲线上,则该点必为切点. 过点处”, 则该点不一定是切点,解题时要另设切点(x0,y0),假设已知点为(x1,y1),利用k=f′(x0)=并联立函数y=f(x)的方程进行求解.
注:过某一点作曲线的切线不一定只有一条,切线与曲线的交点也不一定只有一个. 如已知函数f(x)=x3-3x,过点P(2,-6)作曲线y=f(x)的切线,切线方程为3x+y=0或24x-y-54=0.
◆ 函数y=f(x)的图象与其导函数y=f′(x)图象的对应关系:
① y=f(x)图象的单调分界点是其导函数y=f′(x)图象的正负分界点;
② 导函数y=f′(x)图象的异号零点为原函数y=f(x)的极值点.
◆ 常用函数的求导公式:
① C′=0 (C为常数); ② (xn)′=nxn-1 (n为常数);
③ (ax)′=axlna (a>0且a≠1); ④ (logax)′= (a>0且a≠1);
⑤ (ex)′=ex; ⑥ (lnx)′=;
⑦ (sinx)′=cosx; ⑧ (cosx)′=-sinx;
⑨ ′=-; ⑩ ()′=.
◆导数运算法则:
① [ f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x);
② [Cf(x)]′=Cf′(x) (C为常数);
③ [ f(x)•g(x)]′= f′(x)•g(x)+ f(x)•g′(x);
④ ′= ,其中g(x)≠0;
⑤ 复合函数y=f(φ(x))求导:记u=φ(x),则y′x=y′u•u′x,即f′x(φ(x))=f′(u)φ′(x) .
注:
记忆口诀――
乘法的求导:前导后不导,后导前不导,中间是加号.
除法的求导:上导下不导,下导上不导,中间是减号,分母要平方.
复合函数求导:外导内也导,一层一层导,中间是乘号;复合关系要分清,变量系数要记牢,导到最简为目标.
◆ 利用导数研究函数的单调性要树立定义域优先的意识,步骤如下:① 分析y=f(x)的定义域; ② 求导数f′(x); ③ 解不等式f′(x)>0 (f′(x)<0),解集在定义域内的部分为函数的增(减)区间;④ 书写结论时,不连续的单调区间要分开写,不能合并成并集的形式. 如函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减,而在(-∞,0)∪(0,+∞)上却不是单调递减函数.
注:① f′(x)>0 ( f′(x)<0)是函数f(x)在某个区间上单调递增(递减)的充分不必要条件.
② 在区间(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内单调递增(递减)的充要条件是f′(x)≥0 ( f′(x)≤0)且f′(x)不恒等于0. 故在已知函数单调性求参数范围时,应注意将求得的参数范围的边界值代入f′(x)的表达式进行检验,若f′(x)不恒等于0,则该值可以取到.
③ 可导函数(非常函数)在某区间上不单调,意味着函数在该区间上存在极值点.
◆ 利用导数求极值的步骤:① 求出定义域及导数f′(x);② 求出方程f′(x)=0的根x1,x2,…,xn;③ 列表(或作图)检验f′(x)在每个根的左右两侧的符号,若“左正右负”,则f(x)在该根处取得极大值;若“左负右正”,则f(x)在该根处取得极小值.
注:① 导数为零的点不一定是极值点. 事实上,f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件. 如函数f(x)=x3,有f′(0)=0,但f(x)无极值,因为f(x)在x=0的左右两侧单调性一致.
② 已知f(x)在x=x0处的极值为a,可以得到以下两个结论: f′(x0)=0, f(x0)=a.
③ 可导函数(非常函数)在某区间上无极值,则函数在该区间上严格单调.
◆ 利用导数求最值的步骤:① 求函数在给定区间上的极值;② 比较区间端点所对应的函数值与极值的大小,确定出最大值与最小值.
注:若函数在某个连续区间上只有一个极值点,则该极值点就是最值点.
◆ 利用导数证明不等式f(x)>g(x)的步骤:① 构造函数F(x)=f(x)-g(x);② 判断函数F(x)在定义域上的单调性,并求出它的最小值F(x)min;③ 判断最小值F(x)min>0;④ 得出结论:∵ F(x)≥F(x)min>0, ∴ f(x)>g(x).
◆ 高考考查的多项式函数一般都不超过三次,绘制三次函数的单调模拟图和其导函数(二次函数)的模拟图将大大有助于解题.
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