数形结合思想与解题教学研究

来源:用户上传      作者: 黄　珊

　　做任何事情都要讲究方法。中学数学中掌握更多科学方法，是教师钻研教材的钥匙，具有积极的指导意义。数与形结合的思想，有助于学生思维的开拓、创新，提高学生的学习效果，使问题的解决具有独特策略，把复杂问题简单化、抽象问题具体化，达到化难为易的目的。
　　解题是实现中学数学教学的一种手段，是教学活动的重要形式。解题教学是教师对学生运用知识进行独立思考活动的指导过程，也是使学生掌握数学基础知识，培养基本技能，提高数学能力和发展智力的必要途径。通过解题，我们还可以培养学生辩证唯物主义世界观，以及刻苦钻研精神和独立工作能力等优良品质。
　　数学在其漫长的发展过程中，不仅建立了严密的知识体系，而且形成了一套行之有效的方法。一般认为数学思想方法的概括，是贯穿于该类数学方法中的基本精神、思维策略和调节原则。它制约着数学活动中主观意识的指向，对方法的取舍具有规范和调节作用。形和数这两个概念，是数学的两块基石。数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。在数学发展过程中，形与数常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。
　　早在数学的萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，圆形中的几何关系表达成代数之间的代数关系。17世纪，法国数学家笛卡尔，通过建立坐标系，建立了形与数之间联系，创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期没有解决的问题，如尽规作圆三大不能问题，最终也都借助代数方法得到解决。形与数的内在联系，也使许多代数学和数学分析课具有鲜明的直观性，而且往往由于借用了几何术语或运用了几何的类比从而开拓了新的发展方向。例如，线性代数正是借用了几何空间、线性等概念与类比方法，把自己充实起来，从而获得迅猛的发展。形与数的结合正是在上述背景下逐步形成的。它在数学数学与数学发展中的重要意义，正如在《数学发展史》中法国数学家拉格朗日所指出：“只要代数同几何分道扬镳，它们的发展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是两门科学结合成伴侣的，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”因此，在教学中我们必须重视形与数相结合思路的应用。
　　在现实世界中，形与数不可分离地结合在一起。这是直观与抽象相结合、感知与思维相结合的体现。形与数相结合不仅是数学自身发展的需要，而且是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。从表面上看，中学数学内容可分为形与数两大部分，中学代数是研究数和数量关系的学科，中学几何是研究形和空间形式的学科，中学解析几何是数与形结合的内容。从以下几例便能说明其数形结合妙之所在。
　　1.研究数与数轴相结合。在中学所学的实数中，把每一个数与相应的点对应，把这些点按顺序构成一条直线。又由数与数轴上的点反映了二者之间的“一一对应”关系，能直观地通过数轴反映数之数之间的连续性、稠密性，使得中学数学更加具体、生动。
　　2.当在平面上建立了坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起一一对应的关系，任何一条直线都可以写成关于X、Y的二次方程，任何X、Y的二元一次方程都表示一条直线。这样我们就可以利用直线的方程讨论两直线的位置关系、两条直线所成的角、点到直线的距离，这种通过方程研究图形性质的方法提示了“数”与“形”的内在联系。首先根据图形特点，建立适当的直角坐标系（所谓适当，就是保证题目的解证过程中运算简便，过程简单，结果明确）；其次根据已知条件，标出已知点坐标，给出已知直线或曲线的方程，然后由题设或图形的几何性质，已知的点或曲线方程，推导出要求或要证结果。由上题可看出，用这样的方法解证题目，思维流畅，方法灵活，几何问题完全通过代数方法得到解决。
　　“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。“数形结合”仿佛神来之笔，为问题的解决提供了探索途径，其独到的思维风格给人以享受，并且带给人以成功的巨大喜悦。
　　3.研究函数与其图像相结合。函数是数学的概念之一。函数是贯穿整个数学的一个重要的、抽象的概念，函数作为两个集之间的特殊关系贯穿整个数学课程。函数作为运算出现，例如两个数的和与这个数对应；在初中代数中，函数表示两个数量之间的关系：在几何中函数表示下一个点集到它的象集的变换（平移、对称、旋转等）。如研究二次函数y=（x+a）2+b，根据作图法画函数的图像，是一个由数到形的变化。对学生来说，图像性质是最难掌握的，尤其二次函数的图像的变化，需要高度的数形结合的思路，包括“看图算数”与“以数想图”两方面。前面作图时已有了数到形的变化。如果改变图形的形状、大小、位置后，函数式中的系数又随之怎样变化呢？
　　通过图形，我们就可以总结出有关结论。这又是形到数的变化，再如指数函数的有关教学通过图解，充分说明了这又是一个数形结合思路贯穿于始终。有关数形结合的思路在数学学习中随处可见：代数方程可表示各种关系，它可解决有关长度、面积等问题；一元一次方程、二元一次方程分别表示平面直线、二次曲线等。
　　在数学解题时，我们要注意把形和数结合起来考察，根据问题的具体情况，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。以形数相结合的思路进行教学，这就要求我们切实掌握形数相结合的观点，钻研教材，理解数学中的有关概念、公式与法则，掌握数形结合进行分析问题和解决的方法，从而提高运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和解题能力。

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