从比例系数到相似比、三角函数

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　　摘要：在变量数学的很多关系式中，存在一些相对的常量，集中反映事物的主要特征，可以被称为“特征数字”。有了这些特征数字，人们就可以把事物构造成系列，从最简单、最熟知的事物出发来认识其他事物了。比例系数是一种重要的特征数字，反映了两个变量之间比值不变的特征。学习“正比例函数”时，要多角度地理解比例系数（比值不变），并学会用其来认识相关事物，如单调性和导数、相似比、三角函数等。从比例系数到相似比、三角函数，可以把数学学科核心素养融为一个有机的整体。
　　关键词：教育数学 比例系数 相似比 三角函数
　　值得一提的是，相似比、三角函数作为线段之间的除法运算，对于解决线段乘法的问题也非常有用。而面积实际上是两条垂直（正交）的线段之积，故相似比、三角函数也可以看作面积的比值。教育数学中，利用面积比代替线段比来定义三角函数，目的在于利用垂直关系“消点”，而不是揭示不同度量方式之间的关系。
　　三、“以数驭形”的教学意义
　　“万物皆数”是古希腊数学家的哲学认识、信念。如何将这种认识、信念转化成数学的、实践的，从上面的分析中大致可见一斑。抓住数量特征，用数字说话，不仅得到了实证科学的认可，而且得到了工程技术领域的广泛应用。比如，解析几何的基本思想就是以數思形，动态几何软件制作动画的精髓就是以数驱形：表面上是图形在变化，实际上是数字在变化。
　　在教学中，要让学生抓住数字所描述的意义，让数字说话。比如，待定系数法的教学意义就是让学生认识到数字的内在含义，而不是机械地学会待定系数法的步骤。又如，确定线性回归方程的要领在于确定系数，是采用最小二乘法来做的，这与确定性数学里所使用的经验型“两点确定一条直线”的方法有着根本的不同。
　　从图形到数，是从直观想象走向数学抽象，要逐步学会逻辑推理和数学运算;从数据到数，是从经验走到理性，要逐步积累基于数据表达现实问题，根据数据探索事物本质关联和规律的活动经验，形成通过数据认识事物的思维品质，学会数学建模。从比例系数到相似比、三角函数，可以把数学学科核心素养融为一个有机的整体。
　　参考文献：
　　[1] 徐章韬.从全等、相似到面积、三角——教育数学研究之七[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（1）.
　　[2] 张景中，曹培生.从数学教育到教育数学（典藏版）[M].北京：中国少年儿童出版社，2011.
　　[3] 李兴贵，赖虎强.教育数学概论[M].北京：科学出版社，2018.
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